Probabilistic method小记

概率方法是通过构造概率空间来证明组合命题的方法。
首先最简单的应用是：如果我们要证明存在一个结构满足某个条件，就可以构造概率空间，使得随机得到的结构不满足这个条件的概率小于\(1\)（不是必然事件）。
一个概率方法最简单的例子：
定义Ramsey数：\(R(a,b)\)表示最小的\(n\)，使得对于\(n\)个点的图，无论将每条边染成红色还是蓝色，都存在一个大小为\(a\)的全部为红色边的完全图，或者存在一个大小为\(b\)的全部为蓝色边的完全图。\(R(a,b)\)存在且有限
人类目前对于Ramsey数的认识十分有限：\(R(5,5)\)的值还是未知的。
我们可以使用概率方法估计\(R(a,b)\)得下界：考虑随机把所有边染成红色或者蓝色（每条边为红色或者蓝色概率均为\(\frac{1}{2}\)）
定义事件\(A_S\)：\(S\)内的边同为蓝色（\(|S|=a\)），\(B_S\)：\(S\)内的边同为红色（\(|S|=b\)）。显然\(P(A_S)=2^{-\binom{a}{2}},P(B_S)=2^{-\binom{b}{2}}\)
假如图的大小为\(n\)，如果所有\(A,B\)中至少有一个会发生，那么肯定无论将每条边染成红色还是蓝色，都存在一个大小为\(a\)的全部为红色边的完全图，或者存在一个大小为\(b\)的全部为蓝色边的完全图。
所有\(A,B\)中至少有一个会发生这个事件对应事件所有\(A,B\)的并（设为\(C\)）。根据Union bound可得\(\sum_{|S|=a}P(A_S)+\sum_{|S|=b}P(B_S)=\binom{n}{a}2^{-\binom{a}{2}}+\binom{n}{b}2^{-\binom{b}{2}}\)的概率比这些事件的并的发生概率要大。
假如\(\binom{n}{a}2^{-\binom{a}{2}}+\binom{n}{b}2^{-\binom{b}{2}}<1\)，那么存在一种染色方案使得\(C\)不会发生，也就是说\(R(a,b)>n\)。
当然直接用Union bound进行估计是非常粗糙的，所以这个上界可以优化。
另一个例子：证明存在一个大小为\(n,n\geq k^22^{k+1}\)的竞赛图，对于所有大小为\(k\)的集合\(S\)，都存在一个人能打败\(S\)内的所有人、
定义事件\(A_S\)：\(S\)内的人