位运算

常用的位运算技巧

位运算是很多算法优化的基础和实现的条件，极其重要。理解位运算对于一些算法及其优化有着非常重要的意义。本篇随笔讲解位运算的一些基本原理和常用的使用技巧。

注：本篇随笔的所有“运算”均指二进制下的运算，请大家自行理解。

---

1、与(&)运算

(1)运算法则

两个二进制数进行与&运算，如果对应位都为1则结果为1，否则为0.

(2)技巧及用途

与运算常常用于二进制下的取位操作。想要知道二进制下的某位是否是1，就&上这个位数对应的十进制数。假如返回的是这个十进制数本身，则这个位的确是1，反之就是0.

比如：

我们要取第三位是否为1，我们只需要与&上第三位（二进制表示为100）对应的二进制数4，如果返回值为4，就代表第三位为1，反之就是0.

最常用的是取二进制下的最末位，即a&1。这样的技巧可以用于判断奇偶，根据二进制常识，尾数为1则为奇数，反之为偶数。

---

2、或(|)运算

(1)运算法则

两个二进制数进行或|运算，如果对应位有一个为1，结果就为1.只有在两个数的对应位置都是0的时候，结果才为0.

(2)技巧及用途

或运算常用于二进制特定位的赋值。想把哪个位强行变成1，就用这个数|上这个位数对应的二进制数。

还是上面那个例子，我们想让00000的第三位变成1.即十进制变4，我们直接|上4就可以。

当然，不同于&运算，我们很少用|运算进行任意位赋值。通常来讲，我们只使用a|1把a的最后一位强行变成1，其实质意义是把原数加一。或者使用a|1-1再把它变为0.这个技巧通常用于把它变成它最接近的偶数。

---

3、异或(^)(xor)运算

(1)运算法则

两个二进制数进行异或(^)运算，如果对应位相同，不管是0或者是1，都返回0，反之返回1.

(2)技巧及用途

其实没啥用途...

好吧，我介绍一个性质：一个数经过两次异或之后等于原数。

（很好理解）

---

4、非(~)运算

(1)运算法则

把给定二进制数全部取反。

(2)技巧及用途

其实没什么运算上的用途，本蒟蒻曾看见一些大佬用这个运算判断输入是否为0...

大约长这个样子：

while(~scanf("%d",&n))

---

5、左移(<<)运算

(1)运算法则

a<<b表示把a的二进制位向左移动b位，低位用0补上。

(2)技巧及用途

根据二进制的常识，我们会发现，二进制第k位上的数就等于 $2^k$。（从0开始计位）

比如，二进制下的100就是\(2^k\)(k=2)\(=4\)。

所以我们发现，左移运算a<<b的实质就是\(a×2^b\)。

左移运算最常用的技巧就是用来代替×2的整数次幂的乘法运算。因为我们普遍认为，位运算是要比四则运算加减乘除及模运算更快一些的运算。

---

6、右移(>>)运算

(1)运算法则

a>>b就是把a的二进制位向右移动b位，溢出的舍去。

(2)技巧及用途

类比于左移运算，我们发现右移运算就是把a除以2的整数次幂。这就是右移运算的用途——优化除法运算。

这里需要特殊说明的是，右移算法可以用在数学知识中的求最大公约数的程序块上。因为mod运算的效率慢的出奇，所以我们可以用右移运算来进行除以2的操作。据说可以提高百分之60的效率。

---

7、位运算优先级

位运算的优先级是我们在处理位运算的时候常常要考虑的问题，诚然，我们可以用括号强制位运算的顺序，但是，我们还是应该学会位运算的优先级（这应该是常识）。

位运算的优先级如下：

按位反（~）>位移运算（<<,>>）>按位与（&）>按位异或（^）>按位或（|）