决策树算法
1. 决策树ID3算法的信息论基础
ID3算法是决策树的一种，它是基于奥卡姆剃刀原理的，即用尽量用较少的东西做更多的事。ID3算法，即Iterative Dichotomiser 3，迭代二叉树3代，是Ross Quinlan发明的一种决策树算法，这个算法的基础就是上面提到的奥卡姆剃刀原理，越是小型的决策树越优于大的决策树，尽管如此，也不总是生成最小的树型结构，而是一个启发式算法。在信息论中，期望信息越小，那么信息增益就越大，从而纯度就越高。ID3算法的核心思想就是以信息增益来度量属性的选择，选择分裂后信息增益最大的属性进行分裂。该算法采用自顶向下的贪婪搜索遍历可能的决策空间。
3. 信息熵与信息增益
在信息增益中，重要性的衡量标准就是看特征能够为分类系统带来多少信息，带来的信息越多，该特征越重要。在认识信息增益之前，先来看看信息熵的定义熵这个概念最早起源于物理学，在物理学中是用来度量一个热力学系统的无序程度，而在信息学里面，熵
是对不确定性的度量。在1948年，香农引入了信息熵，将其定义为离散随机事件出现的概率，一个系统越是有序，信息熵就越低，反之一个系统越是混乱，它的信息熵就越高。所以信息熵可以被认为是系统有序化程度的一个度量。
假如一个随机变量
的取值为
，每一种取到的概率分别是
，那么
的熵定义为
意思是一个变量的变化情况可能越多，那么它携带的信息量就越大。对于分类系统来说，类别
是变量，它的取值是
，而每一个类别出现的概率分别是
而这里的
就是类别的总数，此时分类系统的熵就可以表示为
以上就是信息熵的定义，接下来介绍信息增益。
信息增益是针对一个一个特征而言的，就是看一个特征
，系统有它和没有它时的信息量各是多少，两者的差值就是这个特征给系统带来的信息量，即信息增益。
接下来以天气预报的例子来说明。下面是描述天气数据表，学习目标是play或者not play。
可以看出，一共14个样例，包括9个正例和5个负例。那么当前信息的熵计算如下
在决策树分类问题中，信息增益就是决策树在进行属性选择划分前和划分后信息的差值。假设利用
属性Outlook来分类，那么如下图
划分后，数据被分为三部分了，那么各个分支的信息熵计算如下
那么划分后的信息熵为
代表在特征属性
的条件下样本的条件熵。那么最终得到特征属性
带来的信息增益为
信息增益的计算公式如下
其中
为全部样本集合，
是属性
所有取值的集合，
是
的其中一个属性值，
是
中属性
的值为
的样例集合，
为
中所含样例数。
在决策树的每一个非叶子结点划分之前，先计算每一个属性所带来的信息增益，选择最大信息增益的属性来划分，因为信息增益越大，区分样本的能力就越强，越具有代表性，很显然这是一种自顶向下的贪心策略。以上就是ID3算法的核心思想。
3.决策树停止的条件
如果发生以下的情况，决策树将停止分割1.改群数据的每一笔数据已经归类到每一类数据中，即数据已经不能继续在分。2.该群数据已经找不到新的属性进行节点分割3.该群数据没有任何未处理的数据
上面一堆概念，大家估计比较晕，用下面这个图很容易明白他们的关系。左边的椭圆代表H(X),右边的椭圆代表H(Y),中间重合的部分就是我们的互信息或者信息增益I(X,Y), 左边的椭圆去掉重合部分就是H(X|Y),右边的椭圆去掉重合部分就是H(Y|X)。两个椭圆的并就是H(X,Y)。
2. 决策树ID3算法的思路
上面提到ID3算法就是用信息增益大小来判断当前节点应该用什么特征来构建决策树，用计算出的信息增益最大的特征来建立决策树的当前节点。这里我们举一个信息增益计算的具体的例子。比如我们有15个样本D，输出为0或者1。其中有9个输出为1， 6个输出为0。 样本中有个特征A，取值为A1，A2和A3。在取值为A1的样本的输出中，有3个输出为1， 2个输出为0，取值为A2的样本输出中,2个输出为1,3个输出为0， 在取值为A3的样本中，4个输出为1，1个输出为0.
样本D的熵为： H(D)=−(915log2915+615log2615)=0.971H(D)=−(915log2915+615log2615)=0.971
样本D在特征下的条件熵为： H(D|A)=515H(D1)+515H(D2)+515H(D3)H(D|A)=515H(D1)+515H(D2)+515H(D3)
=−515(35log235+25log225)−515(25log225+35log235)−515(45log245+15log215)=0.888=−515(35log235+25log225)−515(25log225+35log235)−515(45log245+15log215)=0.888
对应的信息增益为 I(D,A)=H(D)−H(D|A)=0.083I(D,A)=H(D)−H(D|A)=0.083
下面我们看看具体算法过程大概是怎么样的。
输入的是m个样本，样本输出集合为D，每个样本有n个离散特征，特征集合即为A，输出为决策树T。
算法的过程为：
1)初始化信息增益的阈值ϵϵ
2）判断样本是否为同一类输出DiDi，如果是则返回单节点树T。标记类别为DiDi
3) 判断特征是否为空，如果是则返回单节点树T，标记类别为样本中输出类别D实例数最多的类别。
4）计算A中的各个特征（一共n个）对输出D的信息增益，选择信息增益最大的特征AgAg
5) 如果AgAg的信息增益小于阈值ϵϵ，则返回单节点树T，标记类别为样本中输出类别D实例数最多的类别。
6）否则，按特征AgAg的不同取值AgiAgi将对应的样本输出D分成不同的类别DiDi。每个类别产生一个子节点。对应特征值为AgiAgi。返回增加了节点的数T。
7）对于所有的子节点，令D=Di,A=A−{Ag}D=Di,A=A−{Ag}递归调用2-6步，得到子树TiTi并返回。
3. 决策树ID3算法的不足
ID3算法虽然提出了新思路，但是还是有很多值得改进的地方。
a)ID3没有考虑连续特征，比如长度，密度都是连续值，无法在ID3运用。这大大限制了ID3的用途。
b)ID3采用信息增益大的特征优先建立决策树的节点。很快就被人发现，在相同条件下，取值比较多的特征比取值少的特征信息增益大。比如一个变量有2个值，各为1/2，另一个变量为3个值，各为1/3，其实他们都是完全不确定的变量，但是取3个值的比取2个值的信息增益大。如果校正这个问题呢？
c) ID3算法对于缺失值的情况没有做考虑
d) 没有考虑过拟合的问题
ID3 算法的作者昆兰基于上述不足，对ID3算法做了改进，这就是C4.5算法，也许你会问，为什么不叫ID4，ID5之类的名字呢?那是因为决策树太火爆，他的ID3一出来，别人二次创新，很快 就占了ID4， ID5，所以他另辟蹊径，取名C4.0算法，后来的进化版为C4.5算法。下面我们就来聊下C4.5算法
4. 决策树C4.5算法的改进
上一节我们讲到ID3算法有四个主要的不足，一是不能处理连续特征，第二个就是用信息增益作为标准容易偏向于取值较多的特征，最后两个是缺失值处理的问和过拟合问题。昆兰在C4.5算法中改进了上述4个问题。【C4.5详解】
对于第一个问题，不能处理连续特征， C4.5的思路是将连续的特征离散化。比如m个样本的连续特征A有m个，从小到大排列为a1,a2,...,am,则C4.5取相邻两样本值的平均数，一共取得m-1个划分点，其中第i个划分点Ti表示
Ti表示为：Ti=（ai+ai+1)/2。对于这m-1个点，分别计算以该点作为二元分类点时的信息增益。选择信息增益最大的点作为该连续特征的二元离散分类点。比如取到的增益最大的点为atat,则小于atat的值为类别1，大于atat的值为类别2，这样我们就做到了连续特征的离散化。要注意的是，与离散属性不同的是，如果当前节点为连续属性，则该属性后面还可以参与子节点的产生选择过程。
对于第二个问题，信息增益作为标准容易偏向于取值较多的特征的问题。我们引入一个信息增益比的变量IR(X,Y)IR(X,Y)，它是信息增益和特征熵的比值。
特征数越多的特征对应的特征熵越大，它作为分母，可以校正信息增益容易偏向于取值较多的特征的问题。
对于第三个缺失值处理的问题，主要需要解决的是两个问题，一是在样本某些特征缺失的情况下选择划分的属性(特征缺失，分类已知)，二是选定了划分属性，对于在该属性上缺失特征的样本的处理(分类缺失，特征已知)。
对于第一个子问题，对于某一个有缺失特征值的特征A。C4.5的思路是将数据分成两部分，对每个样本设置一个权重（初始可以都为1），然后划分数据，一部分是有特征值A的数据D1，另一部分是没有特征A的数据D2. 然后对于没有缺失特征A的数据集D1来和对应的A特征的各个特征值一起计算加权重后的信息增益比，最后乘上一个系数，这个系数是无特征A缺失的样本加权后所占加权总样本的比例。
对于第二个子问题，可以将缺失特征的样本同时划分入所有的子节点，不过将该样本的权重按各个子节点样本的数量比例来分配。比如缺失特征A的样本a之前权重为1，特征A有3个特征值A1,A2,A3。 3个特征值对应的无缺失A特征的样本个数为2,3,4。则a同时划分入A1，A2，A3。对应权重调节为2/9,3/9, 4/9。
对于第4个问题，C4.5引入了正则化系数进行初步的剪枝。具体方法这里不讨论。下篇讲CART的时候会详细讨论剪枝的思路。
除了上面的4点，C4.5和ID的思路区别不大。
5. 决策树C4.5算法的不足与思考
C4.5虽然改进或者改善了ID3算法的几个主要的问题，仍然有优化的空间。
1)由于决策树算法非常容易过拟合，因此对于生成的决策树必须要进行剪枝。剪枝的算法有非常多，C4.5的剪枝方法有优化的空间。思路主要是两种，一种是预剪枝，即在生成决策树的时候就决定是否剪枝。另一个是后剪枝，即先生成决策树，再通过交叉验证来剪枝。后面在下篇讲CART树的时候我们会专门讲决策树的减枝思路，主要采用的是后剪枝加上交叉验证选择最合适的决策树。
2)C4.5生成的是多叉树，即一个父节点可以有多个节点。很多时候，在计算机中二叉树模型会比多叉树运算效率高。如果采用二叉树，可以提高效率。
3)C4.5只能用于分类，如果能将决策树用于回归的话可以扩大它的使用范围。
4)C4.5由于使用了熵模型，里面有大量的耗时的对数运算,如果是连续值还有大量的排序运算。如果能够加以模型简化可以减少运算强度但又不牺牲太多准确性的话，那就更好了。
1. CART分类树算法的最优特征选择方法
我们知道，在ID3算法中我们使用了信息增益来选择特征，信息增益大的优先选择。在C4.5算法中，采用了信息增益比来选择特征，以减少信息增益容易选择特征值多的特征的问题。但是无论是ID3还是C4.5,都是基于信息论的熵模型的，这里面会涉及大量的对数运算。能不能简化模型同时也不至于完全丢失熵模型的优点呢？有！CART分类树算法使用基尼系数来代替信息增益比，基尼系数代表了模型的不纯度，基尼系数越小，则不纯度越低，特征越好。这和信息增益(比)是相反的。
C4.5采用信息增益率来作为分支特征的选择标准，而CART则采用Gini系数（约等于熵）；
C4.5不一定是二叉树，但CART一定是二叉树。
假设K个类别，第k个类别的概率为pk，概率分布的基尼系数表达式：
如果是二分类问题，第一个样本输出概率为p，概率分布的基尼系数表达式为：
对于样本D，个数为|D|，假设K个类别，第k个类别的数量为|Ck|，则样本D的基尼系数表达式：
对于样本D，个数为|D|，根据特征A的某个值a，把D分成|D1|和|D2|，则在特征A的条件下，样本D的基尼系数表达式为：
比较基尼系数和熵模型的表达式，二次运算比对数简单很多。尤其是二分类问题，更加简单。
和熵模型的度量方式比，基尼系数对应的误差有多大呢？对于二类分类，基尼系数和熵之半的曲线如下：
基尼系数和熵之半的曲线非常接近，仅在45度角附近误差稍大。因此，基尼系数可以做为熵模型的一个近似替代。数据越不均匀越好分类
CART分类树算法每次仅对某个特征的值进行二分，而不是多分，这样CART分类树算法建立起来的是二叉树，而不是多叉树。
2. CART分类树算法对于连续特征和离散特征处理的改进
对于CART分类树连续值的处理问题，其思想和C4.5是相同的，都是将连续的特征离散化。唯一的区别在于在选择划分点时的度量方式不同，C4.5使用的是信息增益比，则CART分类树使用的是基尼系数。
具体思路：m个样本的连续特征A有m个，从小到大排列a1，a2，......，am，则CART取相邻两样本值的平均数做划分点，一共取m-1个，其中第i个划分点Ti表示为：Ti = (ai + ai+1)/2。分别计算以这m-1个点作为二元分类点时的基尼系数。选择基尼系数最小的点为该连续特征的二元离散分类点。比如取到的基尼系数最小的点为at，则小于at的值为类别1，大于at的值为类别2，这样就做到了连续特征的离散化。
注意的是，与ID3、C4.5处理离散属性不同的是，如果当前节点为连续属性，则该属性在后面还可以参与子节点的产生选择过程。
CART分类树算法对离散值的处理，采用的思路：不停的二分离散特征。
在ID3、C4.5，特征A被选取建立决策树节点，如果它有3个类别A1,A2,A3，我们会在决策树上建立一个三叉点，这样决策树是多叉树。
CART采用的是不停的二分。会考虑把特征A分成{A1}和{A2,A3}、{A2}和{A1,A3}、{A3}和{A1,A2}三种情况，找到基尼系数最小的组合，比如{A2}和{A1,A3}，然后建立二叉树节点，一个节点是A2对应的样本，另一个节点是{A1,A3}对应的样本。由于这次没有把特征A的取值完全分开，后面还有机会对子节点继续选择特征A划分A1和A3。这和ID3、C4.5不同，在ID3或C4.5的一颗子树中，离散特征只会参与一次节点的建立。
3. CART分类树建立算法的具体流程
上面介绍了CART算法的一些和C4.5不同之处，下面我们看看CART分类树建立算法的具体流程，之所以加上了建立，是因为CART树算法还有独立的剪枝算法这一块，这块我们在第5节讲。
算法输入是训练集D，基尼系数的阈值，样本个数阈值。
输出是决策树T。
我们的算法从根节点开始，用训练集递归的建立CART树。
1) 对于当前节点的数据集为D，如果样本个数小于阈值或者没有特征，则返回决策子树，当前节点停止递归。
2) 计算样本集D的基尼系数，如果基尼系数小于阈值，则返回决策树子树，当前节点停止递归。
3) 计算当前节点现有的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数，对于离散值和连续值的处理方法和基尼系数的计算见第二节。缺失值的处理方法和上篇的C4.5算法里描述的相同。
4) 在计算出来的各个特征的各个特征值对数据集D的基尼系数中，选择基尼系数最小的特征A和对应的特征值a。根据这个最优特征和最优特征值，把数据集划分成两部分D1和D2，同时建立当前节点的左右节点，做节点的数据集D为D1，右节点的数据集D为D2.
5) 对左右的子节点递归的调用1-4步，生成决策树。
对于生成的决策树做预测的时候，假如测试集里的样本A落到了某个叶子节点，而节点里有多个训练样本。则对于A的类别预测采用的是这个叶子节点里概率最大的类别。
4. CART回归树建立算法
CART回归树和CART分类树的建立算法大部分是类似的，所以这里我们只讨论CART回归树和CART分类树的建立算法不同的地方。
CART回归树和CART分类树的建立类似，这里只说不同。
(1)、分类树与回归树的区别在样本的输出，如果样本输出是离散值，这是分类树；样本输出是连续值，这是回归树。分类树的输出是样本的类别，回归树的输出是一个实数。
(2)、连续值的处理方法不同。
(3)、决策树建立后做预测的方式不同。
分类模型：采用基尼系数的大小度量特征各个划分点的优劣。
回归模型：采用和方差度量，度量目标是对于划分特征A，对应划分点s两边的数据集D1和D2，求出使D1和D2各自集合的均方差最小，同时D1和D2的均方差之和最小。表达式为：
其中，c1为D1的样本输出均值，c2为D2的样本输出均值。
对于决策树建立后做预测的方式，CART分类树采用叶子节点里概率最大的类别作为当前节点的预测类别。回归树输出不是类别，采用叶子节点的均值或者中位数来预测输出结果。
5. CART树算法的剪枝
CART树的生成：基于训练数据集，递归构建二叉决策树。CART树的剪枝：用验证数据集对生成的树进行剪枝并选择最优子树，损失函数最小作为剪枝的标准。
CART分类树的剪枝策略在度量损失的时候用基尼系数；CART回归树的剪枝策略在度量损失的时候用均方差。
决策树很容易对训练集过拟合，导致泛化能力差，所以要对CART树进行剪枝，即类似线性回归的正则化。CART采用后剪枝法，即先生成决策树，然后产生所有剪枝后的CART树，然后使用交叉验证检验剪枝的效果，选择泛化能力最好的剪枝策略。
剪枝损失函数表达式：
α为正则化参数(和线性回归的正则化一样)，C(Tt)为训练数据的预测误差，|Tt|是子树T叶子节点数量。
当α = 0时，即没有正则化，原始生成的CART树即为最优子树。当α = ∞时，正则化强度最大，此时由原始的生成CART树的根节点组成的单节点树为最优子树。当然，这是两种极端情况，一般来说，α越大，剪枝剪的越厉害，生成的最优子树相比原生决策树就越偏小。对于固定的α，一定存在使得损失函数Cα(Tt)最小的唯一子树。
剪枝的思路：
对于位于节点t的任意一颗子树Tt，如果没有剪枝，损失函数是：
如果将其剪掉，仅保留根节点，损失函数是：
当α = 0或α很小，
，当α增大到一定程度时
当α继续增大时不等式反向，即满足下式：
Tt和T有相同的损失函数，但T节点更少，因此可以对子树Tt进行剪枝，也就是将它的子节点全部剪掉，变为一个叶子结点T。
交叉验证策略：
如果我们把所有节点是否剪枝的值α都计算出来，然后针对不同α对应的剪枝后的最优子树做交叉验证。这样可以选择最好的α，有了这个α，用对应的最优子树作为最终结果。
有了上面的思路，CART树的剪枝算法：
输入是CART树建立算法得到的原始决策树T。
输出是最优决策树Tα。
算法过程：
(1)、初始化αmin = ∞，最优子树集合ω = {T}。
(2)、从叶子结点开始自下而上计算内部节点 t 的训练误差损失函数Cα(Tt)（回归树为均方差，分类树为基尼系数），叶子节点数|Tt|，以及正则化阈值
，更新αmin = α
(3)、得到所有节点的α值得集合M。
(4)、从M中选择最大的值αk，自上而下的访问子树 t 的内部节点，如果
时，进行剪枝。并决定叶子节点 t 的值。如果是分类树，这是概率最高的类别，如果是回归树，这是所有样本输出的均值。这样得到αk对应的最优子树Tk
(5)、最优子树集合ω = ωυTk，M = M - {αk}。
(6)、如果M不为空，则回到步骤4。否则就已经得到了所有的可选最优子树集合ω。
(7)、采用交叉验证在ω选择最优子树Tα。
6. CART算法小结
上面我们对CART算法做了一个详细的介绍，CART算法相比C4.5算法的分类方法，采用了简化的二叉树模型，同时特征选择采用了近似的基尼系数来简化计算。当然CART树最大的好处是还可以做回归模型，这个C4.5没有。下表给出了ID3，C4.5和CART的一个比较总结。希望可以帮助大家理解。
| 算法 | 支持模型 | 树结构 | 特征选择 | 连续值处理 | 缺失值处理 | 剪枝 |
| ID3 | 分类 | 多叉树 | 信息增益 | 不支持 | 不支持 | 不支持 |
| C4.5 | 分类 | 多叉树 | 信息增益比 | 支持 | 支持 | 支持 |
| CART | 分类，回归 | 二叉树 | 基尼系数，均方差 | 支持 | 支持 | 支持 |
看起来CART算法高大上，那么CART算法还有没有什么缺点呢？有！主要的缺点我认为如下：
1）应该大家有注意到，无论是ID3, C4.5还是CART,在做特征选择的时候都是选择最优的一个特征来做分类决策，但是大多数，分类决策不应该是由某一个特征决定的，而是应该由一组特征决定的。这样决策得到的决策树更加准确。这个决策树叫做多变量决策树(multi-variate decision tree)。在选择最优特征的时候，多变量决策树不是选择某一个最优特征，而是选择最优的一个特征线性组合来做决策。这个算法的代表是OC1，这里不多介绍。
2）如果样本发生一点点的改动，就会导致树结构的剧烈改变。这个可以通过集成学习里面的随机森林之类的方法解决。
7. 决策树算法小结
终于到了最后的总结阶段了，这里我们不再纠结于ID3, C4.5和 CART，我们来看看决策树算法作为一个大类别的分类回归算法的优缺点。这部分总结于scikit-learn的英文文档。
首先我们看看决策树算法的优点：
1）简单直观，生成的决策树很直观。
2）基本不需要预处理，不需要提前归一化，处理缺失值。
3）使用决策树预测的代价是O(log2m)O(log2m)。 m为样本数。
4）既可以处理离散值也可以处理连续值。很多算法只是专注于离散值或者连续值。
5）可以处理多维度输出的分类问题。
6）相比于神经网络之类的黑盒分类模型，决策树在逻辑上可以得到很好的解释
7）可以交叉验证的剪枝来选择模型，从而提高泛化能力。
8） 对于异常点的容错能力好，健壮性高。
我们再看看决策树算法的缺点:
1）决策树算法非常容易过拟合，导致泛化能力不强。可以通过设置节点最少样本数量和限制决策树深度来改进。
2）决策树会因为样本发生一点点的改动，就会导致树结构的剧烈改变。这个可以通过集成学习之类的方法解决。
3）寻找最优的决策树是一个NP难的问题，我们一般是通过启发式方法，容易陷入局部最优。可以通过集成学习之类的方法来改善。
4）有些比较复杂的关系，决策树很难学习，比如异或。这个就没有办法了，一般这种关系可以换神经网络分类方法来解决。
5）如果某些特征的样本比例过大，生成决策树容易偏向于这些特征。这个可以通过调节样本权重来改善。
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