一道有趣的图论思考题

求证：任意多边体满足面数+点数-2=边数

思考这个问题我还是花了一些功夫，主要原因是一开始方向错了，从把一个多边体沿边剪开，剪成若干个多边形的思路

从这个方向研究是很困难的，原因是剪开边时边数和点数的变化很复杂，有三种情况，而且随着不同的剪开顺序而改变

但是这个方向给我们一个重要提示：试图把球面上的图转化为简单平面图

只需沿某一个多边形面的边把这个面拿掉，剩下的面一定可以展开为平面图形，进而抽象为简单平面图

为什么？

考虑这个问题前，要先研究一下平面图和球面图的性质（主要研究其异同）

不难发现，区分平面和球面最主要的标志是是否存在一条环路，使得其余所有面都在环路的内侧，定义这条路径为平面图形的外缘

（有关内侧的定义其实还需要更严谨的分析，不过限于篇幅和智力这里就不再进一步分析了）

那么当把某个面拿掉后，剩下的图形的外缘实际就是被去掉的多边形的边

为了方便讨论，我们只拿掉一个简单多边形，即内部没有边的多边形

这样就把问题转化为研究平面上的图形

将顶点抽象为结点，边抽象为结点之间的边，那么原先的平面图形就转化为平面简单图，原先的多边形就转化为图中的简单圈（或者叫简单环）

研究圈数和点数边数的关系应该从哪个角度？

当然是生成树啦（不用对偶图，不要想复杂了）

对这个图，假设共有n个点m条边，那么做生成树就需要用掉n-1条边

接下来添加剩下的边，由生成树的性质易知，每添加一条边就多出一个圈

图论中点和边是可以随意移动的，这种说法实际上并不正确，这里为了方便研究，假设点和边是固定的

由于图是从多边形上拆下来的，保证边之间不会相交，我们就可以只考虑内部没有其他边的圈，如此一来，增加一个圈的说法就是正确的了

（后面的论证破坏了图的性质，只不过为了方便描述仍旧使用图的术语来表示，把它完全看作平面图形来研究其实也是可以的）

为了方便对图论不熟悉的选手阅读，这里还是证一下吧

需要注意圈的一种判断方式：如果两个点之间存在不相交的路径，那么这两条路径就组成一个圈

由于生成树的定义，一开始保证任意两个点之间都有唯一的简单路径（简单路径指每个点至多只经过一次的路径）

接下来每添加一条边，都有两种情况：

①边的两个顶点原先只有唯一路径

这种情况显然增加了一个圈

②边的两个顶点有多条不相交的简单路径

这时实际上是把这两个点所在的圈一分为二，仍然是增加了一个圈

（图论中也不应该有一分为二这样的说法，但是由于和上文同样的原因，假设点和边是固定的，我们就可以说一个圈被分为两个圈）

综上所述，每添加一条边就多出一个圈

总共又添加了m-n+1条边，那么就多出了m-n+1个圈

根据之前我们定义的，平面图和平面图形的对应关系，就可以得到面数=边数-点数+1，也就是面数+点数-1=边数

别忘了把刚才拿掉的多边形盖上，点数和边数都不变，面数多了1，那么计算边数的时候要再让面数-1

最终就可以得到面数+点数-2=边数啦！

最后给出拓扑学中关于此问题的更具一般性的结论：