【C# 数据结构】树 开篇
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树的定义
树可以用递归的形式来定义：树T是由n(n>=0)个结点组成的有限集合，他或者是颗空树，或者包含一个根结点和零或若干棵互不相干的子树。
可以使用广义表(纯表)的形式树结构，如下树结构用广义表表示：A(B(E,F),C(G),D(H,I,J))
表示树结构的广义表没有共享和递归成分，是一种纯表。广义表中的原子对应于树的叶节点，树的非叶子结点则用子表结构表示。
空树：节点树为0的树，即n=0时，称为空树。
非空树：一颗非空树T具有以下特点
（1）有且仅有一个根节点
（2）没有后继的节点称为“叶子节点”,有后继的节点称为“分子节点”.
（3）当树的结点数n>1时，根结点之外的其他结点可以分为m(m>=1)个互不相交的集合T1，T2，T3.。。。Tm，其中每个集合Ti（1<=i<=m）具有与树T相同的树结构，称为子树。每颗子树的根结点有且仅有一个直接的前驱结点。
这是图
树的分类：
树结构可以分为有序和无序树两种类型，有序树种最常用的是二叉树。
树结构的应用场景：
操作系统的文件系统，根目录是文件树的根节点，子目录是树中的分子节点，文件是树结构的叶子节点。
除了根节点外，任何节点有且仅有一个前驱，有多个前驱的节点的叫图。叶子节点没用后继节点。
森林
若干颗互不相交的树的集合称为森林。给森林加上一个根节点就变成一颗树。将树的根结点删除就变成由子树组成的森林。
C# 节点的深度是从0开始计算的。
树类型概述：
二叉树，完全二叉树，满二叉树，二叉排序树，平衡二叉树，红黑树，B树，B+树，B*树、2-3-4树、2-3树
平衡二叉树开始涉及到旋转。
操作
二叉树常用操作旋转（rotate），该操作为常数时间复杂度。 二叉树旋转前后，中序遍历的结果不变。因此树的任何部分旋转，对整棵树的元素顺序没有影响。
在哈夫曼树中用到。
总结
为什么有了数组和链表还要引入二叉树？
针对数组和链表的优缺点，无法说链表一定优于数组，或者是数组一定优于链表，因为某些长期的需要，所以就推出一个相对折中的二叉树。
为什么有了二叉树还要引入平衡二叉树？
有了二叉树还不算完，二叉树有一种极端的情况，就是所有的子结点偏向一端，二叉树退化成链表，这就相当于我选择了这种的二叉树，你现在罢工不干了，找了个链表来糊弄我...
所以为了解决二叉查找树退化为链表的情况，引入了平衡二叉树，即：
平衡二叉树是为了解决二叉树退化成一棵链表而诞生的。
既然有了平衡二叉树，这下总没有问题了吧？
为什么有了平衡二叉树还要引入红黑树？
但是是实际使用过程中，因为平衡二叉树追求绝对严格的平衡关系，显然这个规则在于频繁的插入、删除等操作的情景性能肯定会出现问题...
所以为了解决这个问题，进而又引入了红黑树。
平衡二叉树追求绝对严格的平衡，平衡条件必须满足左右子树高度差不超过1，红黑树是放弃追求完全平衡，它的旋转次数少，插入最多两次旋转，删除最多三次旋转，所以对于搜索、插入、删除操作较多的情况下，红黑树的效率是优于平衡二叉树的。
红黑树是终结吗？
时代总是进步的，大胆猜测不会是，就跟当初从数组、链表到二叉树一样。
至此，通过这篇希望大家对整个树结构的出现有一个基础的概念，目前面试中最为常问的就是红黑树了，当然这得益于 HashMap，但红黑树还有挺多其他的知识点可以考察，例如红黑树有哪些应用场景？红黑树与哈希表在不同应该场景的选择？红黑树有哪些性质？红黑树各种操作(插入删除查询)的时间复杂度是多少？等等等等...
树的双亲表示法、孩子表示法和孩子兄弟表示法
在使用树结构描述实际问题时，大多数不是二叉树，更多的是普通的树结构，在存储之间具有普通树结构的数据时，经常使用的方法有3种：
双亲表示法
取一块连续的内存空间，在存储每个结点的同时，各自都附加一个记录其父结点位置的变量。
代码表示：
- #define tree_size 100//宏定义树中结点的最大数量
- #define TElemType int//宏定义树结构中数据类型
- typedef struct PTNode{
- TElemType data;//树中结点的数据类型
- int parent;//结点的父结点在数组中的位置下标
- }PTNode;
- typedef struct {
- PTNode nodes[tree_size];//存放树中所有结点
- int r,n;//根的位置下标和结点数
- }PTree;
例如，使用双亲表示法存储图 1（A）中的树结构时，数组存储结果为（B）：
（A） （B）
图 1 双亲表示法
当算法中需要在树结构中频繁地查找某结点的父结点时，使用双亲表示法最合适。当频繁地访问结点的孩子结点时，双亲表示法就很麻烦，采用孩子表示法就很简单。
孩子表示法
将树中的每个结点的孩子结点排列成一个线性表，用链表存储起来。对于含有 n 个结点的树来说，就会有 n 个单链表，将 n 个单链表的头指针存储在一个线性表中，这样的表示方法就是孩子表示法。
如果结点没有孩子（例如叶子结点），那么它的单链表为空表。
代码表示：
- #define TElemType int
- #define Tree_Size 100
- //孩子表示法
- typedef struct CTNode{
- int child;//链表中每个结点存储的不是数据本身，而是数据在数组中存储的位置下标
- struct CTNode * next;
- }*ChildPtr;
- typedef struct {
- TElemType data;//结点的数据类型
- ChildPtr firstchild;//孩子链表的头指针
- }CTBox;
- typedef struct{
- CTBox nodes[Tree_Size];//存储结点的数组
- int n,r;//结点数量和树根的位置
- }CTree;
例如，使用孩子表示法存储图 1 （A），存储效果如图 2：
图 2 孩子表示法
使用孩子表示法存储的树结构，正好和双亲表示法相反，适用于查找某结点的孩子结点，不适用于查找其父结点。可以将两种表示方法合二为一，存储效果如图 3：
图 3 孩子双亲表示法
孩子兄弟表示法
使用链式存储结构存储普通树。链表中每个结点由 3 部分组成：
图 4 结点构成
其中孩子指针域，表示指向当前结点的第一个孩子结点，兄弟结点表示指向当前结点的下一个兄弟结点。
代码表示：
- #define ElemType int
- typedef struct CSNode{
- ElemType data;
- struct CSNode * firstchild,*nextsibling;
- }CSNode,*CSTree;
通过孩子兄弟表示法，普通树转化为了二叉树，所以孩子兄弟表示法又被称为“二叉树表示法”或者“二叉链表表示法”。
例如，用孩子兄弟表示法表示图 1 （A）的普通树，存储结果为：
图 5 二叉链表表示法
补：森林和二叉树的相互转化
通过孩子兄弟表示法的学习，对于任意一棵树，都可以找到唯一的一棵二叉树与之对应。
普通树转化成的二叉树，其根结点都没有右孩子，即普通树对应的二叉树肯定没有右子树。
而森林是由多棵树组成，为了便于对森林的遍历等操作，需要将森林中的所有树都组合成一颗大的二叉树，转化步骤为：
- 首先将森林中树各自转化为二叉树；
- 森林中第一棵二叉树的树根作为转化后二叉树的树根；
- 其他树的树根作为第一棵树树根的兄弟结点，进行连接；
图 6 森林转化成二叉树
如图 6 所示，（A）中由三棵普通树组成的森林，首先三棵普通树采用孩子兄弟表示法各自转化成二叉树，如（B）所示；然后由（B）转（C）时，将森林中第一棵树的树根作为转化后的整棵二叉树的树根，其他数的树根作为第一棵树的树根的兄弟结点，如（C）所示。
转化成二叉树的森林，做的最多的操作就是查找树中的结点。在遍历转化后的二叉树时，遍历方式有先序遍历、中序遍历和后序遍历。
B C D A F E H J I G。总结
树的三种表示方法中，双亲表示法和孩子表示法在实际算法中的应用场景正好相反：双亲表示法应用于解决查找某结点的父结点，而孩子表示法应用于查找某结点的孩子结点。
孩子兄弟表示法可以将普通树转化成二叉树存储，在实际操作中，可以应用二叉树的性质来解决普通树或者森林的问题。
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