容斥原理

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为了避免重复的计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B – A∩B (∩：重合的部分）
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C – A∩B – B∩C – C∩A +A∩B∩C

四个集合的容斥关系公式：A∪B∪C∪D = A+B+C+D – A∩B – A∩C – A∩D - B∩C-B∩D-C∩D +A∩B∩C+A∩B∩D+A∩C∩D+B∩C∩D - A∩B∩C∩D.

容斥原理的应用 ：

二维前缀和  ：

【程序1】数阵和         一个n*m的数阵，求前i行前j列所有数的和
输入：
        第一行两个整数n和m（0 <= n,m <=1000）； 
        接下来n行，每行m个整数； 
        最后一行两个整数i和j
输出：
        一个整数，前i行前j列所有数的和。
输入样例：
         3 4
         1 4 2 7
         6 8 1 9
         5 4 3 10
         2 2
输出样例：
        19

根据容斥原理，可得递推公式：f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1]+a[i,j]