赛克oj 1541（线性筛、约数个数）

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题目描述

小明在学校学了质数和合数的知识后，便想知道对于任意的一个数N，将其拆分为一个质数与一个合数相加的结果，有几种拆法？

但后来想想又觉得太简单了，于是他追加了一些条件，合数要继续拆分为两个数相乘的形式才行，那么满足以上条件的关于N的等式有几种？

换句话来讲，你需要找出满足以下条件的等式的数量：

𝐴×𝐵+𝐶=𝑁(𝐴,𝐵>0,𝐶≥2,𝐴×𝐵A×B+C=N(A,B>0,C≥2,A×B 结果为合数，𝐶C 为质数))

需要注意的是，小明根据质数的定义，把11也归为了合数，所以1×11×1也可以算一个𝐴×𝐵A×B 。

输入

输入格式：

• 输入一行一个数n

输出

输出格式：

• 输出一行一个数，表示等式数量
  
  
  线性筛模板来自线性筛求 约数个数 与 约数和 - 糖豆爸爸 - 博客园 (cnblogs.com)

• #define IO std::ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
  #define bug(x) cout<<#x<<" is "<<x<<endl
  #include <bits/stdc++.h>
  #define iter ::iterator
  using namespace  std;
  typedef long long ll;
  typedef pair<int,int>P;
  #define pb push_back
  #define mk make_pair
  #define se second
  #define fi first
  #define rs o*2+1
  #define ls o*2
  const int N = 2e7+5;
  
  int primes[2000000], cnt; // primes[]存储所有素数
  bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
  int d[N];           // d[x]表示x的约数个数
  int num[N];         // num[x]表示x的最小质因数的个数
  int n;
  //欧拉筛法+求约数个数
  void get_primes(int n) {
      d[1] = 1; // 1的约数只有1个,这个比较特殊
  
      for (int i = 2; i <= n; i++) {
          if (!st[i]) {
              primes[cnt++] = i;
              // i是质数
              d[i] = 2;   //约数个数是2个，一个是1，另一个是i
              num[i] = 1; //最小质因子个数是1，最小质因子就是自己i
          }
  
          for (int j = 0; i <= n/primes[j]; j++) {
              st[i * primes[j]] = true;
              if (i % primes[j] == 0) {
                  d[i * primes[j]] = d[i] / (num[i] + 1) * (num[i] + 2);
                  num[i * primes[j]] = num[i] + 1;
                  break;
              } else {
                  // d[i * primes[j]] = d[i] * d[primes[j]]; 等价于下面的代码　
                  d[i * primes[j]] = d[i] * 2;
                  num[i * primes[j]] = 1;
              }
          }
      }
  }
  
  int main() {
      //scanf("%d", &n);
      //n=2e7;
      //cin>>n;
      IO;
      cin>>n;
      get_primes(n-1);
      //输出1~n之间所有数字的约数个数
      ll ans=0;
      for(int i=0;i<cnt;i++){
          int x=primes[i];
          int y=n-x;
          if(y==1){
              ans++;
              continue;
          }
          if(st[y])ans+=d[y];
      }
      cout<<ans<<endl;
      
      
      //for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d %d\n", i, d[i]);
      return 0;
  }