四叉树与八叉树

前序

四叉树或四元树也被称为Q树（Q-Tree）。四叉树广泛应用于图像处理、空间数据索引、2D中的快速碰撞检测、存储稀疏数据等，而八叉树（Octree）主要应用于3D图形处理。对游戏编程，这会很有用。本文着重于对四叉树与八叉树的原理与结构的介绍，帮助您在脑海中建立四叉树与八叉树的基本思想。本文并不对这两种数据结构同时进行详解，而只对四叉树进行详解，因为八叉树的建立可由四叉树的建立推得。若有不足之处，望能不吝指出，以改进之。^_^  欢迎Email：zhanxinhang@gmail.com

四叉树与八叉树的结构与原理

四叉树（Q-Tree）是一种树形数据结构。四叉树的定义是：它的每个节点下至多可以有四个子节点，通常把一部分二维空间细分为四个象限或区域并把 该区域里的相关信息存入到四叉树节点中。这个区域可以是正方形、矩形或是任意形状。以下为四叉树的二维空间结构(左)和存储结构(右)示意图（注意节点颜 色与网格边框颜色）：

 

四叉树的每一个节点代表一个矩形区域（如上图黑色的根节点代表最外围黑色边框的矩形区域），每一个矩形区域又可划分为四个小矩形区域，这四个小矩形区域作为四个子节点所代表的矩形区域。

较之四叉树，八叉树将场景从二维空间延伸到了三维空间。八叉树（Octree）的定义是：若不为空树的话，树中任一节点的子节点恰好只会有八个，或零个，也就是子节点不会有0与8以外的数目。那么，这要用来做什么？想象一个立方体，我们最少可以切成多少个相同等分的小立方体？答案就是8个。如下八叉树的结构示意图所示：

 

 

四叉树存储结构的c语言描述：

    /* 一个矩形区域的象限划分：: 
               
           UL(1)   |    UR(0) 
         ----------|----------- 
           LL(2)   |    LR(3) 
    以下对该象限类型的枚举 
    */  
    typedef enum  
    {  
        UR = 0,  
        UL = 1,  
        LL = 2,  
        LR = 3  
    }QuadrantEnum;  
      
    /* 矩形结构 */  
    typedef struct quadrect_t  
    {      
        double  left,   
                top,   
                right,   
                bottom;  
    }quadrect_t;  
      
    /* 四叉树节点类型结构 */  
    typedef struct quadnode_t  
    {  
        quadrect_t    rect;          //节点所代表的矩形区域  
        list_t        *lst_object;   //节点数据, 节点类型一般为链表，可存储多个对象  
        struct  quadnode_t  *sub[4]; //指向节点的四个孩子   
    }quadnode_t;  
      
    /* 四叉树类型结构 */  
    typedef struct quadtree_t  
    {  
        quadnode_t  *root;  
        int         depth;           // 四叉树的深度                      
    }quadtree_t;  

四叉树的建立

1、利用四叉树分网格，如本文的第一张图<四层完全四叉树结构示意图>，根据左图的网格图形建立如右图所示的完全四叉树。

伪码：

Funtion QuadTreeBuild ( depth, rect )
{
    QuadTree->depth = depth;
    /*创建分支，root树的根，depth深度，rect根节点代表的矩形区域*/
    QuadCreateBranch (  root, depth, rect );
}

Funtion QuadCreateBranch ( n, depth,rect )
{
    if ( depth!=0 )
    {
        n = new node;    //开辟新节点
        n ->rect = rect; //将该节点所代表的矩形区域存储到该节点中
        //将rect划成四份 rect[UR], rect[UL], rect[LL], rect[LR];
        /*创建各孩子分支*/
        QuadCreateBranch ( n->sub[UR], depth-1, rect [UR] );
        QuadCreateBranch ( n->sub[UL], depth-1, rect [UL] );
        QuadCreateBranch ( n->sub[LL], depth-1, rect [LL] );
        QuadCreateBranch ( n->sub[LR], depth-1, rect [LR] );
     }
}

 

2、假设在一个矩形区域里有N个对象，如下左图一个黑点代表一个对象，每个对象的坐标位置都是已知的，用四叉树的一个节点存储一个对象，构建成如下右图所示的四叉树。

方法也是采用递归的方法对该矩形进行划分分区块，分完后再往里分，直到每一个子矩形区域里只包含一个对象为止。

伪码：

Funtion QuadtreeBuild()
{
     Quadtree = {empty}；
     For (i = 1;i<n;i++)      //遍历所有对象
    {
       QuadInsert(i, root)；//将i对象插入四叉树
    }          
    剔除多余的节点；       
    //执行完上面循环后，四叉树中可能有数据为空的叶子节点需要剔除
}    

Funtion QuadInsert(i,n)    
 //该函数插入后四叉树中的每个节点所存储的对象数量不是1就是0
{  
     if（节点n有孩子）
     {      
        通过划分区域判断i应该放置于n节点的哪一个孩子节点c；       
        QuadInsert(i,c)；
     }
     else if（节点n存储了一个对象）
     {
        为n节点创建四个孩子；
        将n节点中的对象移到它应该放置的孩子节点中；
        通过划分区域判断i应该放置于n节点的哪一个孩子节点c；
        QuadInsert(i,c)；
     }
     else if（n节点数据为空）    
     {
        将i存储到节点n中；
     }
  } 

（以上两种建立方法作为举一反三之用）

用四叉树查找某一对象

1、采用盲目搜索，与二叉树的递归遍历类似，可采用后序遍历或前序遍历或中序遍历对其进行搜索某一对象，时间复杂度为O（n）。

2、根据对象在区域里的位置来搜索，采用分而治之思想，时间复杂度只与四叉树的深度有关。比起盲目搜索，这种搜索在区域里的对象越多时效果越明显

伪码：

Funtion find ( n, pos, )
{
      If (n节点所存的对象位置为 pos所指的位置 )
          Return n;
      If ( pos位于第一象限 )
          temp = find ( n->sub[UR], pos );
      else if ( pos位于第二象限)
          temp = find ( n->sub[UL], pos );
      else if ( pos位于第三象限 )
          temp = find ( n->sub[LL], pos );
      else  //pos 位于第四象限
          temp = find ( n->sub[LR], pos );
      return temp;   
} 

结语：

熟话说：结构之法，算法之道。多一种数据结构就多一种解决问题的方法，多一种方法就多一种思维模式。祝君学习愉快！^_^

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参考：维基百科、百度百科

参考：CS267: Lecture 24, Apr 11 1996 Fast Hierarchical Methods for the N-body Problem, Part 1