并查集学习笔记

并查集的定义

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（disjoint sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。
——百度百科

并查集，顾名思义，支持以下两种操作操作：

• 并(Union)：把两个不相交的集合合并为一个集合。
• 查(Find)：查询两个元素是否在同一个集合中。

并查集的实现

并查集往往用树来存，若使用\(f\)数组表示每个节点的父节点，则\(f_i\)表示第\(i\)个节点的父节点，初始\(f_i=i\)，初始节点即认自己为父亲，

那么我们就可以得到这样的一颗树：

flowchart TD 1 --> 1 1 --> 2 1 --> 3 1 --> 4 3 --> 5 3 --> 6

查询

初始化时每个节点的根节点就是它自己。

int f[N];
int find(int x){
	if(f[x]==x)return x;
	return find(f[x]);
}

但这样会有一个问题：当数据很大时，树的深度会很高，所以我们需要压缩路径。

我们可以在查询的过程中，让每个点认自己的祖先为父亲，那么就可以大大缩小深度。(即路径压缩)

优化代码如下：

int f[N];
int find(int x){
	if(f[x]==x)return x;
	return f[x]=find(f[x]);
}

这样树就会变成

flowchart TD 1 --> 1 1 --> 2 1 --> 3 1 --> 4 1 --> 5 1 --> 6

合并

假如要合并两棵树：

flowchart TD 1 --> 1 1 --> 2 1 --> 3 1 --> 4 3 --> 5 3 --> 6

和

flowchart TD 7 --> 7 7 --> 8 8 --> 10 7 --> 9 8 --> 11

先路径压缩并找到组先（分别为 \(1\) 和 \(7\)）

flowchart TD 1 --> 1 1 --> 2 1 --> 3 1 --> 4 1 --> 5 1 --> 6

和

flowchart TD 7 --> 7 7 --> 8 7 --> 10 7 --> 9 7 --> 11

再将 \(7\) 并到 \(1\) 下：

flowchart TD 1 --> 1 1 --> 2 1 --> 3 1 --> 4 1 --> 5 1 --> 6 1 --> 7 7 --> 7 7 --> 8 7 --> 10 7 --> 9 7 --> 11

所以得出结论：

当要合并两个子集是，可以让被合并的子集的祖先任另一个子集的祖先为父亲

代码如下：

int a,b;
cin>>a>>b;
int fs=find(a),fs2=find(b);
if(fs!=fs2)fa[fs]=fs2;

例题

P1536 村村通

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[10010]={0},ans;
int find(int x){
    if(x!=fa[x])fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
int s,n,m,a,b;
signed main(){
	//freopen("bicj.out","w",stdout);
	while(1){
    	cin>>n;
    	bool t1[10001]={0};
    	if(n==0)break;
		cin>>m;
		if(m==0){
			cout<<n-1<<endl;
			continue;
		}
    	ans=n;
    	for(int i=1;i<=n+3;i++)fa[i]=i;
    	for(int i=1;i<=m;i++){
    		int a,b;
     	 	cin>>a>>b;
     	 	t1[a]=t1[b]=1;
      	 	int fs=find(a),fs2=find(b);
       		fa[fs]=fs2;
   		}
    	int t[1500]={0},ans=0;
   	 	for(int i=1;i<=n;i++){
    		t[find(i)]++;
    		//cout<<find(i)<<" ";
    	}
    	//cout<<endl;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		if(t[i])ans++;
    	}
    	cout<<ans-1<<endl;
	}
    return 0;
}