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EM算法(1):K-means 算法

EM算法(2):GMM训练算法

EM算法(3):EM算法运用

EM算法(4):EM算法证明

 

 

 

                EM算法(2):GMM训练算法

1. 简介

  GMM模型全称为Gaussian Mixture Model,即高斯混合模型。其主要是针对普通的单个高斯模型提出来的。我们知道,普通高斯模型对实际数据拟合效果还不错,但是其有一个致命的缺陷,就是其为单峰函数,如果数据的真实分布为复杂的多峰分布,那么单峰高斯的拟合效果就不够好了。

  与单峰高斯模型不同,GMM模型是多个高斯模型的加权和,具体一点就是:

            $p(\mathbf{x})\ =\ \sum_k\pi_k\mathcal{N}(\mathbf{x}|\mu_k,\Sigma_k)$  

  这是一个多峰分布,理论上,只要k足够大,GMM模型能拟合任何分布。

2. 困难

  GMM模型比普通高斯模型拟合能力更强了,但是对其训练的难度也增加了。回忆一下,在训练普通高斯模型时,我们是对其分布函数去ln进行求导,具体一点就是:

            $\frac{\partial lnp(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{\theta}}\ =\ 0$

  那么对于普通高斯函数来说,$lnp(\mathbf{x}) = C - \frac{1}{2}(\mathbf{x}-\mu)^T\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\mu)$,可以看到,ln将分布函数中的指数形式消除了,那么对其求导很容易得到闭式解。但是对于GMM模型来说就不是这么简单了。我们可以计算一下,其概率函数取ln形式为:

            $lnp(\mathbf{x}) = ln\{ \sum_k\pi_k\mathcal{N}(\mathbf{x}|\mu_k,\Sigma_k)\}$

  我们可以看到,因为在ln里面还有加法,所以其无法消除其中的指数形式,导致其最优化问题没有闭式解。所以想要用calculus的方式来解决GMM模型训练的问题是不行的。

3. Inspiration from k-means algorithm

  没有什么事情是一步解决不了的,如果有,那就用两步。

                        --沃 · 兹基硕德

  我们重新来看看GMM模型的表达式,其由多个高斯函数相加而成,你可以想想一个空间中有很多高斯函数,它们分别在各自中心点所在的位置。一个一维的三个高斯混合的模型示意如下:

          

  那么对于任何一个点,都有其最靠近的一个峰。比如在中间峰处的点,其概率几乎全是来自于第二个高斯分布。那么我们就可以这样想,是不是每个点都有其更加偏向的高斯峰呢?等等,这个想法好像在哪里见过?k-means算法中的第一步不就是干的这事吗?将每个点都分配给最近的一个类。但是,我们这里怎么去度量距离呢?继续使用点到中心的距离?这样好像把每个高斯的方差忽略掉了。那么既然是概率模型,最好的方法就是用概率来比较。对于一个点$\mathbf{x}$,第k个高斯对其的贡献为$\pi_k\mathcal{N}(\mathbf{x}|\mu_k,\Sigma_k)$,那么把$\mathbf{x}$分配给贡献最大的一个,这样看起来把各个因素考虑进去,似乎很合理了。

  但是,我们发现,如果一个点处于两个峰之间呢,这样把其归为任何一个峰都不太好吧?当然,k-means也没有解决这个问题,但是我们这里是概率模型,我们有更好的描述方法,我们可以计算一个点$\mathbf{x}$属于每个高斯的概率。这样的考虑就比较全面了。那么点$\mathbf{x}$属于每个高斯的概率自然就取这个高斯对其的贡献$\pi_k\mathcal{N}(\mathbf{x}|\mu_k,\Sigma_k)$。为了使其成为一个概率,我们还需要对其归一化,所以得到第n个数据点属于第k个高斯的概率:

            $\gamma_{nk}=\frac{\pi_k\mathcal{N}(\mathbf{x}_n|\mu_k,\Sigma_k)}{\sum_j\pi_j\mathcal{N}(\mathbf{x}_n|\mu_j,\Sigma_j)}$

  按照k-means算法,第二步就是把$\gamma_{nk}$当做已知去做最优化。这里既然是要拟合分布,那么就使用最大似然的方法,最大化$lnp(\mathbf{X})$。那么这里就有一个问题了:在k-means算法中,目标函数是有$r_{nk}$这一项的,然而$lnp(\mathbf{X})$中并没有$\gamma_{nk}$这一项呀,我怎么把其当做已知的呢?这里我们不急,暂时不去管这个,我们先计算$\frac{\partial lnp(\mathbf{X})}{\partial \mu_k}$:

            $\frac{\partial lnp(\mathbf{X})}{\partial \mu_k}\ =\ -\ \sum_n\frac{\pi_k\mathcal{N}(\mathbf{x}_n|\mu_k,\Sigma_k)}{\sum_j\pi_j\mathcal{N}(\mathbf{x}_n|\mu_j,\Sigma_k)}\Sigma_k(\mathbf{x}_n\ -\ \mu_k) $      (1)

  我们的$\gamma_{nk}$是不是已经出现了,那么上式可以简写为:

            $\ -\ \sum_n\gamma_{nk}\Sigma_k(\mathbf{x}_n\ -\ \mu_k)$

  令其等于0,可以得到:

            $\mu_k\ =\ \frac{\sum_n\gamma_{nk}\mathbf{x}_n}{\sum_n\gamma_{nk}}$              (2)

  可以看到,其与k-means算法第二步中心点的计算方法$\mu_k=\frac{\sum_nr_{nk}\mathbf{x}_n}{\sum_nr_{nk}}$非常相似。

  类似的,对$\Sigma_k$求导,可以得到:

            $\Sigma_k\ =\ \frac{\sum_n\gamma_{nk}(\mathbf{x}_n-\mu_k)(\mathbf{x}_n-\mu_k)^T}{\sum_n\gamma_{nk}}$        (3)

  对$\pi_k$求导,可以得到:

            $\pi_k\ =\ \frac{\sum_n\gamma_{nk}}{\sum_k\sum_n\gamma_{nk}}$               (4)

  自此,GMM训练方法就得到了,第一步,使用式(1)计算所有点的属于各个高斯的概率;第二步,利用式(2),(3),(4)更新均值、方差和权值。重复这两步直到收敛。

4. 与EM算法的关系

  这里我们是从k-means算法出发得到的GMM训练算法,那么其与EM算法的关系与k-means算法和EM算法的关系类似。同样,我们后面可以看到,利用EM算法可以推导出GMM训练算法。

posted on 2016-12-22 22:17 Ccien 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏