随笔分类 -  数论

摘要：先看费马小定理：　费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为:　假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡１（mod p）　假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1逆元：设m为正整数，a为正整数，如果存在a' 使得：a X a' = 1（mod m）a'叫做a的逆元。密码学中用到了这个结论。RSA.证明:x^(MOD-1) = 1 (mod MOD)x*x^(MOD-2) = 1 (mod MOD) x^(MOD-2)为其逆元其中MOD 为素数 ， x要小于MOD,如果x>=MOD,可以先对x取MOD,这不会影响结果。 阅读全文

摘要：很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。 后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。1. 模运算是取余运算(记做 % 或者 mod)，具有周期性的特点。m%n的意思是n除m后的余数， 当m递增时m%n呈现周期性特点， 并且n越大，周期越长，周期等于n。例如0 % 20 = 0，1 % 20 = 1， 2 % 20 = 2， 3 % 20 = 3， ...， 19 % 20= 1920 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3， ...，39 % 20 = 192. 如果m %n = r，那么可以推出如下等式m = k * n + 阅读全文

摘要：/**Time: 0 ms*题目大意：* 输入m, n(n < 1000000000),求1~n之间中gcd(x, n) >=m 的x个数。*解题思路：* 找出N的所有大于等于M的因子(x1,x2,x3.....xi)，然后设k=N/xi；* 下面只需找出小于k且与k互质的数。* 因为：设y与k互质且小于k，那么gcd（y*xi，k*xi）=xi；* （xi为N的因子，且xi大于等于M）。*/View Code 1 #include <iostream> 2 #include <algorithm> 3 #include ... 阅读全文

摘要：/**Time: 0 ms*题目大意：* 求1~n里面比n小，但是与n不互素的数的总和。*解题思路：* 利用欧拉函数即可求解，1~n比n小且与n互素的数的总和为* sum(n) = n * phi(n) / 2;那么可以先求出1~n-1的总和，然后* 减去sum(n)即可。*/View Code 1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 using namespace std; 4 5 int jisuan(int x) 6 { 7 int i,res=x; 8 for(i=... 阅读全文

摘要：/**Time: 156 ms, 但是当我把求素因子拆出来的时候，居然600ms*题目大意：* 求二次剩余，求雅克比符号，然后根据性质把雅克比符号转换为勒让德符号。* 注意判断勒让德符号的结果，可以用欧拉准则，L(a, n),当 n|a时，结果为0，* 否则用a^((n - 1) / 2) mod n来求。（欧拉函数的适用范围是当n为奇素数）*解题思路：* 直接用欧拉准则来模拟即可。不需要管题目的一大堆性质，注意提取题目有用的信息。*题目困惑：* 当用J(a, n)中的n不是素数要装换为 J (a, n) = J (a, p... 阅读全文