微积分学习日志
《1》函数和反函数
反函数的理解：反函数要求原函数必须是一一对应的，一个输入只能对应一个输出。
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当 x = 2 时，y = 4
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当 x = -2 时，y = 4
为什么可以"变成" y = √x
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函数变成严格单调递增
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每个 y 值只对应唯一的 x 值
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此时才存在反函数
1.为什么反函数的镜像轴是对称
核心原理：如果点 (a, b) 在原函数图像上，意味着 b = f(a)。根据反函数的定义，(b, a) 就一定在反函数图像上。
几何意义：点 (a, b) 和 (b, a) 的中点在直线 y = x 上，且连线垂直于该直线。所以，这两个点天然关于 y = x 对称。
因为函数图像上每一个点 (a, b) 都对应反函数图像上唯一的对称点 (b, a)，所以整个图像都会关于直线 y = x 对称。
特别说明：这里要求原函数是一一映射（比如单调函数），否则反函数可能不存在（或需要限制定义域）。而“关于y=x对称”描述的，正是互为反函数的两条图像之间的几何关系
2.原函数在图上面标注是2点和4点。反函数为什么要先标4点，然后标2点呢？
将原函数 y = x² 的定义域限制在 x ≥ 0，这样反函数就是y=f⁻¹(x)。
y=f⁻¹(x) 这个是反函数的公式。我可以这样理解吗，这个括号里面的X就是原函数的Y，所以标注在横轴4上面。
括号里的 x（也就是反函数的自变量）就是原函数的 y。所以当原函数有 y=4时，反函数就要输入 4 来问：“当初的 x 是多少？”
因此，在画反函数图像时，横坐标上标的是 原函数的纵坐标，比如 4；纵坐标上标的是 原函数的横坐标，比如 2。
这就是为什么反函数上的点是 (4,2) 的原因——横轴标4，纵轴标2。
3.水平线检验：如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次，那么这个函数就有一个反函数
f(x)=x³就有反函数，g(x)=x²就没有反函数。
《2》奇函数和偶函数
1.奇函数和偶函数的区别主要看原点对称性
奇函数：图像关于原点对称。数学定义是 f(−x)=−f(x)。比如 f(x)=x³或 f(x)=sinx。
偶函数：图像关于y轴对称。数学定义是 f(−x)=f(x)。比如 f(x)=x² 或 f(x)=cosx。
它们的主要作用：
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简化研究：知道一半的图像或性质，另一半可直接推导。
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简化计算：在微积分中，关于原点对称区间上，奇函数的定积分为零；偶函数的积分等于单侧的两倍。
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分析信号：在工程和物理中，任何函数都可分解为一个奇函数和一个偶函数之和，用于简化问题（如傅里叶分析）。
2.如何求函数是奇函数和偶函数
方法就是，将每个x替换为(-x)并计算f(-x)，一定要记者给-x加上小括号，然后化简结果。如果你得出了原始表达式f(x),f就是偶的；如果得到原始表达式的负值-f(x)，f就是奇的；如果得到的结果一团糟，则f就非奇非偶。
《3》三角函数
1.常用三函数值
|
角度 |
弧度 |
sin |
cos |
tan |
|---|---|---|---|---|
|
0° |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
30° |
π/6 |
1/2 |
√3/2 |
√3/3 |
|
45° |
π/4 |
√2/2 |
√2/2 |
1 |
|
60° |
π/3 |
√3/2 |
1/2 |
√3 |
|
90° |
π/2 |
1 |
0 |
不存在 |
2.ASTC方法
三角学里判断四个象限中各三角函数正负的口诀——All / Sin / Tan / Cos（也有地方叫"CAST"，顺序反过来念）。
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象限 |
口诀字母 |
正的三角函数 |
负的 |
|---|---|---|---|
|
第Ⅰ象限 (0°~90°) |
A = All |
sin、cos、tan、cot、sec、csc 全正 |
— |
|
第Ⅱ象限 (90°~180°) |
S = Sin |
sin、csc |
cos、tan、cot、sec |
|
第Ⅲ象限 (180°~270°) |
T = Tan |
tan、cot |
sin、cos、sec、csc |
|
第Ⅳ象限 (270°~360°) |
C = Cos |
cos、sec |
sin、tan、cot、csc |
《4》求多项式的极限问题
《5》连续性和可导性
连续性和可导性是函数分析中的两个基本概念，它们描述了函数在某一点或某个区间上的“光滑程度”。
(1) 双侧极限 lim (x→a) f (x) 存在 (并且是有限的);
(2) 函数在点 x=a处有定义,即f(a)存在(并且是有限的);
(3) 以上两个量相等,即 lim (x→a) f(x) = f(a).
总的理解lim(x→a)是趋势，f(a)是实际落脚点
1. 极限 lim(x→a)f(x)：趋势（预期目的地）
- 本质：它只关心 x 无限靠近 a 时的“过程”，完全不关心 xx 真正等于 a 时会发生什么。
- 视角：它是“旁观者的预测”。当你顺着函数的轨迹（图像）往 a 点走时，根据你走过的路线，你预期自己最终会落在哪个高度（y 值）。
- 金句：极限只看逼近过程，不看最终结果。
2. 函数值 f(a)：实际落脚点（现实位置）
- 本质：它是函数在 x=a 这个绝对确切的点上的真实状态。
- 视角：它是“当事人的现实”。不管之前的路线是怎么走的，当你双脚真正站在 x=a 这个坐标上时，你实际身处的高度（y 值）是多少。
情况1：货不对板（可去间断点）
二、再看实际落脚点：f(1)
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