CSP-S 模拟赛 Day 16

CSP-S 模拟赛 Day 16

T1

小技巧：计算子树内单一信息（比如大小为 \(x\) 的子树个数）的时候可以开一个全局的桶，在进入 \(u\) 的打上标记，回溯到 \(u\) 的时候一减，就能得到信息。

T2 弱化版

考虑描述一颗广义的线段树，可以选择用断点描述，对于一个区间，我们通过断点分成两个子区间 \([l,mid]\) 和 \([mid, r]\)，所以第 \(d\) 层就变成了一个长度为 \(2^{d-1}\) 的序列，其中每一项都是上面所有区间的断点。

再来看询问，依旧可以把每个区间询问看成断点的形式，也就是左边是 \(l-1\)，右边是 \(r\)，继续推，考虑当前区间的答案是什么，不难想到其实就是 \(l-1\) 这一侧的区间最大深度 和 \(r\) 这一侧的区间到达的最大深度 的最大值。

不难看出最终 \([l, r]\) 区间的子区间到达最大深度的时候，一定是 \(l-1\) 为断点或者 \(r\) 为断点，所以实际上我们只需要看所有区间到达的最大深度 \(d\)，当深度为 \(d-1\) 的时候所有断点一定都是对应区间的。考虑求 \(d\)，贪心的来说，如果要让 \(d\) 尽可能的小，肯定要先把深度小的全部填起来先，再来填深度为 \(d\) 的断点，所以 \(d\) 就是满足 \(2 ^ d - 1\) 大于等于总断点数的最小值。

这里先给断点去个重然后直接记录每个断点的数量。

所以不难想到贪心，每个断点都是一个区间的两个端点。总共有 \(2 ^ d - 1\) 个断点，其中第奇数个断点一定是在最后一层的，而只有最后一层算贡献，所以问题变成了往这些格子里面（\(2^{d - 1} \le cnt \le 2 ^d - 1\)）填 \(tot\) 个数，使得奇数位的总贡献最少。显然如果第 \(d - 1\) 层答案是 \(res\)，那么每一个区间都会向下遍历它的两个儿子，所以最终答案应该是 \(res \times 2\)。

但是注意到偶数位必须全部填满，所以问题又转化成了在 \(tot\) 个数中取 \(cnt - 2^{d-1} - 1\) 个数字做奇数方格，并且他

这个问题就不难用 dp 解决，记 \(f_{i,j}\) 表示考虑到第 \(i\) 个字符，填了前 \(j\) 个数，总共的访问次数，\(f_{i,j} = \min(f_{i,j},f_{i-1,j-1} + a_i[i\equiv 0 \pmod 2])\)。答案就是 \(f_{n, tot}\)。