数论

欧拉函数

定义

欧拉函数 \(\phi(n)\) 表示 \([1,n]\) 之间与 \(n\) 互质的数量。

公式

设 \(n=\alpha_{1}^{p_1} \times \alpha_{2}^{p_2} \times \alpha_{3}^{p_3} \times …… \times \alpha_{k}^{p_k}\)

则 \(\phi(n) = n \times (1- \dfrac{1}{p_1})\times (1- \dfrac{1}{p_2})\times (1- \dfrac{1}{p_3}) \times …… \times (1- \dfrac{1}{p_k})\)

推导

如何推导

推导的方式要用到容斥原理。

欧拉函数 \(\phi(n)\) 代表的是 \([1,n]\) 之间与 \(n\) 互质的数量，但是我们发现比较难想，于是正难则反，直接从不互质来入手，然后减掉就得出结果了。

如果 \(i\) 与 \(n\) 不互质，那么 \(i\) 和 \(n\) 必将有共同的质因数。所以，我们可以通过 \(n\) 的每一个质因数进行倍数处理，然后容斥算出有多少是不互质的，因此也就可得出答案了。

推导过程

我们设：\(n\) 的质因数是：{ \(p_1,p_2,……,p_k\) }。

那么 \(p_i\) 在 \([1,n]\) 这个区间中的倍数就有 \(\dfrac{n}{p_i}\)。

为了方便推导，我们暂且先设 \(k=3\)。

于是就可以得到公式：

• \(n-\dfrac{n}{p_1}-\dfrac{n}{p_2}-\dfrac{n}{p_3}+\dfrac{n}{p_1 \times p_2}+\dfrac{n}{p_1 \times p_3} + \dfrac{n}{p_2 \times p_3} -\dfrac{n}{p_1 \times p_2 \times p_3}\)

在进行通分之后，我们发现这个式子其实已经等于 \(\phi(n)\) 了。

性质

• 当 \(n\) 是质数的时候，\(\phi(n) = n-1\)。
• 当 \(n\) 是质数的时候，存在 \(n^k\) 使得 \(\phi(n^k) = (n-1) \times n ^{k-1}\)。
• 积性函数，如果 \(n\) 与 \(m\) 互质，则 \(\phi(n×m)=\phi(n)×\phi(m)\)。

代码

定义法

• 只能处理一个数的 \(\phi\)。

• 思路是一边分解质因数一遍处理欧拉函数

  int get_euler(int n){
      int euler = n;
      for (int i = 2; i <= n / i; i++){
          if (n % i == 0){
              euler = euler / i * (i - 1) //euler = euler * (1 - 1 / i); 
              while (n % i == 0) n /= i;
          }
      }
      if (n > 1) euler = euler / n * (n - 1);
      return euler;
  }
  

线性筛法

• 在进行筛法的时候处理欧拉函数

• 可以在一次线性筛中处理出 \([1,n]\) 中的欧拉函数

  int primes[N], cnt = 0;
  int euler[N];
  bool st[N];
  
  void get_euler(int n){
      euler[1] = 1; // 1的欧拉函数值是1
      // 线性筛模板 + 过程中求欧拉函数
      for (int i = 2; i <= n; i++){
          if (!st[i]){
              primes[cnt ++] = i;
              euler[i] = i - 1; // 性质1
          }
          for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++){
              st[i *primes[j]] = true;  
              if (i % primes[j] == 0){
                  euler[i * primes[j]] = euler[i] * primes[j]; // 性质2
                  break;
              }
              euler[i * primes[j]] = euler[i] * (primes[j] - 1); // 性质3
          }
      }
      // 最后，euler数组中存的就是 1 ~ n 每个数的欧拉函数值
      return ;
  }
  

逆元

费马小定理

如果 \(p\) 是一个质数，\(a\) 不是 \(p\) 的倍数。那么必然存在：\(a^{p-1}\equiv{1}\pmod{p}\)。

推导：你猜他为什么叫费马小定理。

定义

如果一个线性同余方程，\(p\) 为质数，\(a\) 与 \(p\) 互质，那么 \(a \times x \equiv{1} \pmod{p}\)，\(x\) 就是 \(a\) 关于 \(p\) 的逆元。

求解

快速幂

根据费马小定理可知，\(a \times a^{p-2}\equiv{1}\pmod{p}\)。

再对比逆元的定义，易知 \(x = a^{p-2}\)。

int ksm(int pw, int bs){
    int cnt = 1;
    while (bs){
        if(bs & 1) cnt = cnt * pw % p;
        pw = pw * pw % p;
        bs >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main(){//快速幂求逆元 
    cin >> n >> p;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        printf("%lld\n", ksm(i, p - 2) % p);
    }
    return 0;
}

线性

参考前面欧拉函数的推导，不难想到可以用小的逆元去推导大的逆元。

首先，初始条件 \(1^{-1}\equiv{1}\pmod{p}\)。

设 \(p = k \times i + r\)，其中 \(k = p/i\)，\(r = p \bmod i\)。

显然 \(k \times i + r \equiv{0\pmod{p}}\)。

在式子左右两边同时乘上 \(i^{-1}\)，\(r^{-1}\)，得 \(k \times r^{-1} + i^{-1} \equiv{0\pmod{p}}\)。

移项，\(i^{-1} \equiv -k \times r ^{-1}\pmod{p}\)。

将 \(k = p / i\)，\(r = p \bmod i\) 带入，得 \(i^{-1} \equiv -\left\lfloor\dfrac{p}{i}\right\rfloor \times (p \bmod i)^{-1} \pmod{p}\)。

而此时，\(i\) 得逆元就同余于 \(p \bmod i\) 的逆元乘上 \(p/i\) 向下取整。

注意：因为解出来 \(i\) 的逆元为负数，为了得到一个 \([1,n]\) 的逆元，所以要 (x + mod) % mod。

int main(){
	inv[1]=1;
	cin >> n >> p;
	for (int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (-p / i * inv[p % i] + p) % p;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cout << inv[i] << endl;
    return 0;
}