作业2-Floyd算法、Dijkstra算法

Floyd算法

1. 问题

用Floyd算法求解下图各个顶点的最短距离。写出Floyd算法的伪代码和给出距离矩阵（顶点之间的最短距离矩阵），按实验报告模板编写算法。

 

2. 解析

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

      从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

 

3. 设计

for(k=1;k<=n;k++)

         for(i=1;i<=n;i++)

          for(j=1;j<=n;j++)

             if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )

               e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

 

 

4. 分析

该代码的空间复杂度为O(n^2)，
时间复杂度为O(n^3)。

 

5. 源码

https://github.com/snocc2953/-2019-2020-2/blob/master/Floyd.cpp

 

 

Dijkstra算法

1.问题

对于下图使用Dijkstra算法求由顶点a到顶点h的最短路径

 

2.解析

设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

 

 

3.设计

for(k=1;k<=n;k++)

         for(i=1;i<=n;i++)

          for(j=1;j<=n;j++)

             if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )

               e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

for(i=1;i<=n-1;i++)

        {

            //找到离1号顶点最近的顶点

            min=inf;

            for(j=1;j<=n;j++)

            {

                if(book[j]==0 && dis[j]<min)

                {

                    min=dis[j];

                    u=j;

                }

            }

            book[u]=1;

            for(v=1;v<=n;v++)

            {

                if(e[u][v]<inf)

                {

                    if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])

                        dis[v]=dis[u]+e[u][v];

                }

            }

        }

 

4.分析

时间复杂度为O(n^2)

5.源码

https://github.com/snocc2953/-2019-2020-2/blob/master/Dijkstra.cpp