单位根反演小记

显然我还不会这个，但是我先写点，写到啥算啥。

单位根反演的式子。

\([n|a]=\frac {1} n\sum\limits_{k=0}^{n-1} \omega ^{ak}_n\)

证明：

• $a\not = 0 $ 时，\(=\frac 1 n\sum\limits_{k=0}^{n-1} \omega_{n}^{ak}\)

  \(=\frac 1 n \frac {1-\omega^{an}}{1-\omega^a}\)。因为 $\omega^{a}\not =1 $ 并且 \(\omega ^n =1\)， 所以原式等于 \(0\)。

• \(a=0\) 时，\(=\frac 1 n\sum\limits _{k=0}^{n-1} \omega^{0}=1\)。

就这个式子，很可爱。

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#loj6485. LJJ 学二项式定理

题意：求 \(\displaystyle[\sum _{i=0}^n \dbinom{n}{i}s^ia_{(i\mod 4)}]\mod 998244353\)

\(T\leq 10^5,n\leq 10^{18}\)。

注意是 \(i\mod 4\)。

首先把式子化成： \(\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} s^i \sum_{j=0}^3 a_{j} [i\mod 4==j]\)

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} s^i \sum_{j=0}^3 a_j \sum_{k=0}^{3} \omega_{4}^{(i-j)k}\)

\(\displaystyle \sum_{k=0}^3\sum _{j=0}^3 a_j \omega_{4}^{-jk} \sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i} s^i\omega_4^{ik}\)

二项式定理。

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{3}\sum_{j=0}^{3} a_j \omega_{4}^{-jk} (1+s\omega^k)^n\)。

完事了，单位根就是 \(g^\frac {mod-1} 4\)

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P5591 小猪佩奇学数学

题意：$\displaystyle \sum_{i=0}^n \dbinom{n}{i} p^i \lfloor \frac i k\rfloor \pmod {998244353} $

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \dbinom{n} i p^i \frac {i-i\%k}{k}\)

\(\displaystyle \frac 1 k\sum_{i=0}^n \dbinom n i p^i i -\frac 1 k \sum _{i=0}^n \dbinom n i p^i (i\%k)\)

先看左边的部分。扔掉所有的 \(\frac 1 k\)，到最后别忘了除掉就行。

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \frac {n!}{i! (n-i)!} p^i i\)

\(\displaystyle \frac 1 n\sum_{i=0}^n \dbinom {n-1} {i-1} p^i\)

\(\frac {(1+p)^{n-1}}{n}\)。

再看右边的部分，

\(\displaystyle \sum_{i=0}^n \dbinom n i p^i \sum_{j=0}^{k-1} j[i\%k==j]\)

\(\displaystyle \sum_{i=0}^{k-1} j\sum_{i=0}^n \dbinom n i p^i \frac 1 k \sum_{l=0}^{k-1} \omega_{k}^{(i-j)l}\)

\(\displaystyle \frac 1 k\sum_{l=0}^{k-1}\sum_{j=0}^{k-1} j \omega_{k}^{-jl}\sum_{i=0}^n \dbinom n i p^i \omega_{k}^{il}\)

\(\displaystyle \frac 1 k\sum_{l=0}^{k-1} \sum_{j=0}^{k-1} j\omega_{k}^{-jl} (1+p\omega_{k}^l)^n\)

\(\displaystyle \frac 1 k\sum_{l=0}^{k-1} (1+p\omega_{k}^l)^n \sum_{j=0}^{k-1} j \omega_{k}^{-jl}\)

令 \(S(n,x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1} i x^{i}\)

这是经典的转化。

\(S(n,x)-xS(n,x)=\sum\limits_{i=1}^{n-1} x^i -nx^n\)

\((1-x)S(n,x)=\frac {1-x^n}{1-x} -1 -nx^n\)

\(S(n,x)=\frac {\frac {1-x^n}{1-x} -1 -nx^n}{1-x}\)

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困了，不想写了，睡了。

奔驰在国道上时速七十公里

追寻着幻影不知道幸福在哪

开窗丢掉所有过往犹豫彷徨

从此我不是我是新的我对自己说

嘿

无所谓了跳起来吧 wowowo

想什么呢等什么呢 wowowo

跳起来吧无所谓了 wowowo

wowowo

嘿

无所谓了跳起来吧 wowowo

想什么呢等什么呢 wowowo

跳起来吧无所谓了 wowowo

wowowo