多项式笔记
多项式，清空，封装，边界，是讨厌的。
目录
其实我不会做目录。
现已加入（按加入时间排序）：
- NTT
- 多项式求逆
- 多项式对数函数
- 多项式指数函数
- 泰勒展开，牛顿迭代
- 多项式除法
- 多项式快速幂
- 多项式开根
然后还有的东西会慢慢加（好困）
预知识
背下来
泰勒展开
\(\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i\)
\(\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i\)
我不会不敢乱讲
大概的意思是用多项式来拟合一些不好求的函数。应用就是下面的牛顿迭代。
牛顿迭代
已知 \(g(f_0(x))\equiv 0 \;(\!\mod x^{\frac n 2})\)
求解 \(g(f(x))\equiv 0 \; \pmod {x^n}\)
结论： \(f(x)=f_0(x)-\frac {g(f_0(x))}{g'(f_0(x))}\)
证明：
首先使用泰勒展开，将 \(g(f(x))\) 在 \(f_0(x)\) 处展开
得到 \(\displaystyle g(f(x))= \sum _{i\geq0} \frac {g^{(i)}(f_0(i))}{i!}(f(x)-f_0(x)) ^i\)
由于 \(f(x)-f_0(x)\equiv 0 \pmod x^{\frac n 2}\)
所以在 \(i\geq 2\) 的情况下，\((f(x)-f_i(x))^i\equiv 0 \pmod {x^n}\)
所以原式展开： \(g(f(x))=g(f_0(x))+ g'(f_0(x))(f(x)-f_0(x))\)
化简一下即可得到 \(f(x)=f_0(x)-\frac {g(f_0(x))}{g'(f_0(x))}\)
导数相关小知识
\((F(x)+G(x))'=F'(x)+G'(x)\)
\((cF(x))'=cF'(x)\) (\(c\) 为常数)
\((x^k)'=kx^{k-1}\)
\((\ln x)'=\frac 1 x\)
\((e^{x})'=e^x\)
\((a^x)'=a^x\ln a\)
\((F(x)G(x))'=F'(x)G(x)+G'(x)F(x)\)
\(({\frac {F(x)}{G(x)}})'=\frac {F'(x)G(x)+F(x)G'(x)}{G^2(x)}\)
\((F(G(x)))'=F'(x)G'(F(x))\)
NTT
懒得讲原理，喵。
ll A[maxn],B[maxn],pos[maxn],S[maxn];
const int mod=998244353,g=3,ginv=332748118;
ll ksm(ll x,int y)
{
ll ret=1;
while(y)
{
if(y&1) ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod; y>>=1;
}
return ret;
}
int pre(int n,int m)
{
int lim=0;
while((1<<lim)<=n+m) lim++;
for(int i=0;i<=(1<<lim);i++)
pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
return lim;
}
void NTT(ll *f,ll n,int opt)
{
for(int i=0;i<n;i++) if(i<pos[i]) swap(f[i],f[pos[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1)
{
ll step=ksm((opt>0?g:ginv),(mod-1)/(2*i));
for(int j=0;j<n;j+=i+i)
{
ll cur=1;
for(int k=j;k<j+i;k++)
{
int gx=f[k],hx=1ll*cur*f[k+i]%mod;
f[k]=(gx+hx)%mod;f[k+i]=(gx-hx+mod)%mod;
cur=cur*step%mod;
}
}
}
if(opt==-1)
{
int ninv=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;i++) f[i]=f[i]*ninv%mod;
}
}
void MUL(ll *s,ll *f,ll *h,int n,int m)
{
int lim=pre(n,m);
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=f[i];
for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=h[i];
for(int i=n+1;i<=(1<<lim);i++) A[i]=0;
for(int i=m+1;i<=(1<<lim);i++) B[i]=0;
NTT(A,(1<<lim),1);NTT(B,(1<<lim),1);
for(int i=0;i<=(1<<lim)-1;i++) s[i]=A[i]*B[i]%mod;
NTT(s,(1<<lim),-1);
}
多项式求逆
给出\(F(x)\),求出 \(G(x)\) 使得 \(G(x) F(x)\equiv 1 (\mod x^n)\)
令 \(F(x)H(x)\equiv 1(\mod x^{\frac n 2})\)
\(F(x)(G(X)-H(x))\equiv 0(\mod x^{\frac n 2})\)
\(G(x)-H(x)\equiv 0(\mod x^{\frac n 2})\)
\((G(x)-H(x))^2\equiv 0(\mod x^{n})\)
\(G^2(x)-2G(x)H(x)+H^2(x)\equiv 0(\mod x^n)\)
两边同时乘个 \(F(x)\)
\(G(x)-2H(x)+F(x)H^2(x)\equiv 0(\mod x^n)\)
\(G(x)=2H(x)-F(x)H^2(x)\)
然后已知 \(H(x)\) 就能做了。递归下去就行了。。
一般都写成非递归。
void INV(ll *s,ll *f,int n)
{
S[0]=ksm(f[0],mod-2);S[1]=0;
for(int len=2;len<=(n<<1);len<<=1)
{
ll lim=(len<<1);
for(int i=0;i<len;i++) A[i]=f[i],B[i]=S[i];
for(int i=len;i<lim;i++) A[i]=B[i]=0;
pre(len,0);
NTT(A,lim,1); NTT(B,lim,1);
for(int j=0;j<lim;j++)
S[j]=(2*B[j]%mod+mod-A[j]*B[j]%mod*B[j]%mod)%mod;
NTT(S,lim,-1);
for(int j=len;j<lim;j++) S[j]=0;
}
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
}
多项式对数函数（ln）
设 \(G(x)=\ln(F(X))\)
同时求导
\(G'(x)=\ln '(F(x))\)
然后复合函数求导拆开
\(G'(x)=\frac{F'(x)}{F(x)}\)
然后先求导，再求逆，最后积分一下就行。
求导：\((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha -1}\)
积分：\(\int \alpha x^{\alpha-1}=x^{\alpha}\)
\(\int x^\alpha=\frac 1 {\alpha+1} x^{\alpha+1}\)
多项式指数函数（exp）
给出 \(f(x)\) 求 \(g(x)\equiv e^{f(x)}\pmod {x^n}\)
\(f(x)\equiv\ln g(x)\)
\(f(x)-\ln g(x)\equiv 0\)
令 \(h(t)=f(x)-\ln t\)，那么 \(h(g(x))\equiv 0\)
令 \(h(g_0(x))\equiv 0\pmod {x^{\frac n 2}}\)
\(g(x)\equiv g_0(x)-\frac {f(g_0(x))}{h'(g_0(x))}\)
\(\equiv g_0(x)-\frac {f(x)-\ln g_0(x)}{-\frac 1 {g_0(x)}}\)
\(\equiv g_0(x)-g_0(x)\ln g_0(x)+g_0(x)f(x)\)
\(\equiv g_0(x)(1-\ln g_0(x)+f(x))\)
然后就能算了。
多项式除法
给 \(n\) 项多项式 \(f(x)\)， 和 \(m\) 项多项式 \(g(x)\)，求 \(n-m\) 项的多项式 \(q(x)\)，以及 \(m-1\) 项的 \(r(x)\) ，满足 \(f(x)\equiv g(x) q(x)+r(x)\)
神奇的转化。
令 \(f_r(x)\) 为把 \(f(x)\) 翻转过来后的多项式，一定有 \(f_r(x)=f(x)x^n\)。
把 \(\frac 1 n\) 代入上式，\(f(\frac 1 n)\equiv g(\frac 1 n)q(\frac 1 n)+r(\frac 1 n)\)
式子同时乘 \(x^n\)，得到 \(f_r(x)\equiv g_r(x)q_r(x)+r_r(x)\times x^{n-m+1}\)
然后 \(f_r(x)\equiv g_r(x)q_r(x) \pmod {x^{n-m+1}}\)
直接多项式求逆即可
多项式开根
已知 \(f(x)\) ，求 \(g^2(x)\equiv f(x)\pmod {x^n}\)
\(f(x)-g^2(x)\equiv 0\pmod {x^n}\)
令 \(h(t)=f(x)-t^2,h(g(x))\equiv 0 \pmod {x^n}\)
牛顿迭代，令 \(h(g_0(x))\equiv 0\pmod {x^{\frac n 2}}\)
\(g(x)\equiv g_0(x)-\frac{f(x)-g_0^2(x)}{-2g_0(x)}\)
然后稍微化简一下，\(g(x)\equiv \frac {g_0(x)+\frac{f(x)}{g_0(x)}}{2}\)
多项式快速幂
已知 \(f(x)\) 和 \(k\) ，求 \(g(x)\equiv f^k(x)\)
同时取 \(\ln\)，\(\ln g(x)\equiv k \ln f(x)\)
\(g(x)=\exp (k\ln f(x))\)
前提是 \(f(0)=1\)
全套模板（未完工）
namespace POLY
{
ll A[maxn],B[maxn],pos[maxn],S[maxn];
const int mod=998244353,g=3,ginv=332748118;
ll ksm(ll x,int y)
{
ll ret=1;
while(y)
{
if(y&1) ret=ret*x%mod;
x=x*x%mod; y>>=1;
}
return ret;
}
int pre(int n,int m)
{
int lim=0;
while((1<<lim)<=n+m) lim++;
for(int i=0;i<=(1<<lim);i++)
pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
return lim;
}
void NTT(ll *f,ll n,int opt)
{
for(int i=0;i<n;i++) if(i<pos[i]) swap(f[i],f[pos[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1)
{
ll step=ksm((opt>0?g:ginv),(mod-1)/(2*i));
for(int j=0;j<n;j+=i+i)
{
ll cur=1;
for(int k=j;k<j+i;k++)
{
int gx=f[k],hx=1ll*cur*f[k+i]%mod;
f[k]=(gx+hx)%mod;f[k+i]=(gx-hx+mod)%mod;
cur=cur*step%mod;
}
}
}
if(opt==-1)
{
int ninv=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;i++) f[i]=f[i]*ninv%mod;
}
}
void MUL(ll *s,ll *f,ll *h,int n,int m)
{
int lim=pre(n,m);
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=f[i];
for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=h[i];
for(int i=n+1;i<=(1<<lim);i++) A[i]=0;
for(int i=m+1;i<=(1<<lim);i++) B[i]=0;
NTT(A,(1<<lim),1);NTT(B,(1<<lim),1);
for(int i=0;i<=(1<<lim)-1;i++) s[i]=A[i]*B[i]%mod;
NTT(s,(1<<lim),-1);
}
void INV(ll *s,ll *f,int n)
{
S[0]=ksm(f[0],mod-2);S[1]=0;
for(int len=2;len<=(n<<1);len<<=1)
{
ll lim=(len<<1);
for(int i=0;i<len;i++) A[i]=f[i],B[i]=S[i];
for(int i=len;i<lim;i++) A[i]=B[i]=0;
pre(len,0);
NTT(A,lim,1); NTT(B,lim,1);
for(int j=0;j<lim;j++)
S[j]=(2*B[j]%mod+mod-A[j]*B[j]%mod*B[j]%mod)%mod;
NTT(S,lim,-1);
for(int j=len;j<lim;j++) S[j]=0;
}
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
}
void ADD(ll *s,ll *f,ll *h,int n,int m)
{
for(int i=0;i<=max(n,m);i++) s[i]=(f[i]+h[i])%mod;
}
void DEL(ll *s,ll *f,ll *h,int n,int m)
{
for(int i=0;i<=max(n,m);i++) s[i]=(f[i]-h[i]+mod)%mod;
}
void REV(ll *f,int n)
{
for(int i=0;i<=n/2;i++) swap(f[i],f[n-i]);
}
void DIV(ll *q,ll *r,ll *f,ll *h,int n,int m)
{
static ll A[maxn],B[maxn],C[maxn],D[maxn];
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=C[i]=f[i];
for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=D[i]=h[i];
REV(A,n);
REV(B,m);
INV(B,B,n-m);
MUL(q,A,B,n,n-m);
for(int i=n-m+1;i<=n+n-m;i++) q[i]=0;
REV(q,n-m);
MUL(D,D,q,m,n-m);
DEL(r,C,D,n,n);
}
void SQRT(ll *s,ll *f,int n)
{
static ll S[maxn],A[maxn],B[maxn],C[maxn];
S[0]=1;
for(int len=1;len<=(n<<1ll);len<<=1)
{
ll lim=len<<1;
for(int i=0;i<len;i++) A[i]=f[i],B[i]=S[i];
for(int i=len;i<lim;i++) A[i]=B[i]=C[i]=0;
INV(C,B,len);
pre(len,0); NTT(A,lim,1); NTT(C,lim,1);
for(int j=0;j<lim;j++) S[j]=A[j]*C[j]%mod;
NTT(S,lim,-1);
ADD(S,S,B,lim,lim);
ll inv2=ksm(2,mod-2);
for(int i=0;i<lim;i++) S[i]=S[i]*inv2%mod;
for(int i=len;i<lim;i++) S[i]=0;
}
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
}
void MUL_integer(ll *s,ll *f,int n,ll k)
{
for(int i=0;i<=n;i++) S[i]=f[i]*k%mod;
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
}
void DERIV(ll *s,ll *f,int n)
{
static ll A[maxn];A[n]=0;
for(int i=1;i<=n;i++) A[i-1]=f[i]*i%mod;
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
}
void LIMIT(ll *s,ll *f,int n)
{
A[0]=0;
for(int i=0;i<n;i++) A[i+1]=f[i]*ksm(i+1,mod-2)%mod;
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
}
void Ln(ll *s,ll *f,int n)
{
static ll A[maxn],B[maxn];
int lim=pre(n,n);
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=f[i],B[i]=0;
for(int i=n+1;i<=(1<<lim);i++) A[i]=B[i]=0;
DERIV(B,A,n);
INV(A,A,n);
MUL(A,A,B,n,n);
LIMIT(A,A,n);
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
}
void EXP(ll *s,ll *f,int n)
{
static ll A[maxn],B[maxn],C[maxn],S[maxn];
S[0]=1; S[1]=0;
for(ll len=2;len<=(n<<1);len<<=1)
{
int lim=len<<1;
for(int i=0;i<len;i++) A[i]=f[i],B[i]=S[i];
for(int i=len;i<lim;i++) A[i]=B[i]=C[i]=0;
Ln(C,B,len-1);
for(int i=0;i<len;i++) C[i]=(A[i]-C[i]+mod)%mod;
C[0]=(C[0]+1)%mod;
pre(len,0); NTT(B,lim,1); NTT(C,lim,1);
for(int j=0;j<lim;j++) S[j]=B[j]*C[j]%mod;
NTT(S,lim,-1);
for(int j=len;j<lim;j++ )S[j]=0;
}
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=S[i];
}
void POW(ll *s,ll *f,int n,ll k)
{
int lim=pre(n,n);
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=f[i];
for(int i=n+1;i<=(1<<lim);i++) A[i]=0;
Ln(A,A,n); MUL_integer(A,A,n,k);
EXP(A,A,n);
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
}
const int img=86583718;
void sin(ll *s,ll *f,int n)
{
static ll S[maxn],H[maxn];
for(int i=0;i<=n;i++) S[i]=f[i]*img%mod;
EXP(S,S,n); INV(H,S,n);
ll t=ksm(2*img%mod,mod-2);
for(int i=0;i<=n;i++)
s[i]=(S[i]-H[i]+mod)%mod*t%mod;
}
void cos(ll *s,ll *f,int n)
{
static ll S[maxn],H[maxn];
for(int i=0;i<=n;i++) S[i]=f[i]*img%mod;
EXP(S,S,n); INV(H,S,n);
ll t=ksm(2,mod-2);
for(int i=0;i<=n;i++)
s[i]=(S[i]+H[i])%mod*t%mod;
}
void ARCSIN(ll *s,ll *f,int n)
{
static ll A[maxn],B[maxn];
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=B[i]=f[i];
DERIV(B,B,n); MUL(A,A,A,n,n);
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=(mod-A[i])%mod;
A[0]=(A[0]+1)%mod;
SQRT(A,A,n);
INV(A,A,n);
MUL(A,A,B,n,n);
LIMIT(A,A,n);
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
}
void ARCTAN(ll *s,ll *f,int n)
{
static ll A[maxn],B[maxn];
for(int i=0;i<=n;i++) A[i]=B[i]=f[i];
DERIV(B,B,n); MUL(A,A,A,n,n);
A[0]=(A[0]+1)%mod;
INV(A,A,n);
MUL(A,A,B,n,n);
LIMIT(A,A,n);
for(int i=0;i<=n;i++) s[i]=A[i];
}
}
留个坑（（（
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