笛卡尔树学习笔记

众所周知，笛卡尔树是联赛考纲内的内容

定义

笛卡尔树是一种二叉树，每一个结点由一个键值二元组(k,w)构成。要求k满足二叉搜索树的性质，而w满足堆的性质。
如果k，w已知，且互不相同，则符合定义的笛卡尔树唯一。

线性建树

如果序列的第一维有序，我们可以利用单调栈在O(n)的时间内完成笛卡尔树的构建。
不妨假设第一维降序排序，以小根堆为例，每当我们向树中插入一个权值，为了满足二叉搜索树性质，其必然插入在树的右链。如果它的父亲节点第二维大于其第二维的值，我们对该节点进行左旋操作（不明白的话请参考讲解平衡树的博客的），直至其满足堆的性质。
如果你学过Treap，会发现这就是Treap的操作（事实上，Treap就是一种笛卡尔树）
因为每个节点最多在右链上出现一次（左旋之后父亲节点被移到了左链上），我们使用单调栈来维护其右链上的节点。
代码：

点击查看代码

void build() {
	for(int i=1;i<=n;i++) { 
		cur=top;
		while(cur && a[s[cur]] > a[i]) cur--;
		if(cur) r[s[cur]]=i;
		if(cur < top) l[i]=s[cur+1];
		s[++cur]=i;
		top=cur;
	}
}

一般情况建树

我们对第一维排序后，即可使用上述算法建树。
代码略