【NOIP2017 提高组】 宝藏 题解 （洛谷P3959）

原题：

https://www.luogu.com.cn/problem/P3959

简化下题意，就是给定一张图，我们需要求出这张图的一棵有根生成树，满足生成树中各边与该边深度的乘积之和最小。

该题的暴力算法非常显然，穷举树的根，从已经在树中的点向外dfs即可。下面的代码是不加任何优化的裸暴力：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define ll long long
il int read() {
    int s=0,w=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
const int N=20;
const int M=2010;
struct edge{
    int t,nex,v;
} e[M]; int head[N],tot;
void add(int x,int y,int v) {
    e[++tot].t=y; e[tot].nex=head[x]; e[tot].v=v; head[x]=tot;
}
ll ans=10000000010;
int n,m;
bool vis[N];
int s[20],top,dep[20];
void check() {
    printf("114514 ");
}
void dfs(ll sum,int num) {
    if(num==n) {
        ans=min(ans,sum);
        return;
    }
    for(int i=1;i<=top;i++) {
        int x=s[i];     
        for(int j=head[x];j;j=e[j].nex) { 
            int y=e[j].t,z=e[j].v;
            if(!vis[y]) {
                vis[y]=1; 
                s[++top]=y;
                dep[y]=dep[x]+1;
                dfs(sum+dep[x]*z,num+1);
                top--; vis[y]=0; dep[y]=0;
            }
        }
    }
}
int main() {
    n=read(); m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int a=read(),b=read(),v=read();
        add(a,b,v); add(b,a,v);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        vis[i]=1; s[++top]=i; dep[i]=1;
        dfs(0,1); //check();
        vis[i]=0; dep[i]=0; top--; 
    }
    printf("%lld ",ans);
    return 0;
}

   这个暴力可以拿30pts。但如果我们在每次进入dfs时加上以下判断来剪枝，我们就能拿到60pts：

if(sum>=ans) return;

   （很明白的剪枝，不讲了）顺便，这个代码在经过合理的剪枝后是可以AC本题的。详情参考 https://www.luogu.com.cn/blog/user54022/solution-p3959。生动的说明了爆搜剪枝的重要性（）

    下面来考虑正解。看到这个范围，我们第一反应就是状压DP。我们可以把要求的生成树看做一个点集，每个顶点是否已经在这个点集中用0与1表示。这样我们就得到了能够表示当前阶段的状态。该如何转移呢？我们可以另开一个数组dep，来记录每个点在当前状态的深度，仿照之前爆搜的思路，我们可以写出状态转移方程：f[s| (1 << j)]=min(f[s]，dep[i]*dist[i][j])，i为s中的点，j为与i有边相连且不在s中的点。对于每一个状态，不断从已扩展的点向外搜索，我们会发现其实这个方程更适合用dfs来求解。所以我们得到如下代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define ll long long
il int read() {
    int s=0,w=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s*w;
}
const int N=13;
const int M=2010;
ll ans=10000000010,f[1 << N];
int dist[N][N],dep[N];
int n,m;
bool vis[N];
void dfs(int s) {
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(s & (1 << (i-1))) {
            for(int j=1;j<=n;j++) {
                if(!(s & (1 << (j-1)))) {
                    if(f[s | (1<< (j-1))]>f[s]+(ll)dep[i]*(ll)dist[i][j]) {
                        int kx=dep[j];
                        dep[j]=dep[i]+1;
                        f[s | (1<< (j-1))]=f[s]+(ll)dep[i]*(ll)dist[i][j];
                        dfs(s | (1<< (j-1)));
                        dep[j]=kx;
                    }
                }
            }
        }
    }
}
int main() {
    n=read(); m=read();
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist)); 
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        int a=read(),b=read(),v=read();
        dist[a][b]=min(v,dist[a][b]);
        dist[b][a]=min(v,dist[b][a]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        memset(f,0x3f,sizeof(f));
        memset(dep,0x3f,sizeof(dep));
        int root=1 << (i-1);
        f[root]=0; dep[i]=1;
        dfs(root);
        ans=min(f[(1<<n)-1],ans);
    }
    printf("%lld ",ans);
    return 0;
}

这个代码可以获得满分，复杂度O(2ⁿ*n³)

完。