正态分布&&切比雪夫不等式

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一维正态分布

若随机变量
  
服从一个位置参数为
  
、尺度参数为
  
的概率分布，且其概率密度函数为[2] 
则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作
  
，读作
  
服从
  
，或
  
服从正态分布。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
本词条的正态分布是一维正态分布，此外多维正态分布参见“二维正态分布”。

标准正态分布

当
  
时，正态分布就成为标准正态分布

性质

正态分布的一些性质：[2] 
（1）如果
  
且a与b是实数，那么
  
(参见期望值和方差)。
（2）如果
  
与
  
是统计独立的正态随机变量，那么：
它们的和也满足正态分布
 
它们的差也满足正态分布
 
U与V两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等）
（3）如果
  
和
  
是独立常态随机变量，那么：
它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
 
其中
  
是修正贝塞尔函数（modified Bessel function）
它们的比符合柯西分布，满足
 
（4）如果
  
为独立标准常态随机变量，那么
  
服从自由度为n的卡方分布。


切比雪夫不等式，描述了这样一个事实，事件大多会集中在平均值附近。

2.1 切比雪夫不等式与直观感受

切比雪夫不等式是这么写的：

P(|X-\mu | \geq k\sigma ) \leq \frac1{k^2}\\

其中 k > 0 ，\mu 是期望，\sigma 是标准差。

我们还是通过 \mu =1.3,\sigma =0.25 的正态分布来感受一下切比雪夫不等式：可见，越远离平均值，概率越低。

2.2切比雪夫不等式的证明

马尔科夫不等式是这样的：

{\displaystyle P (X\geq a)\leq {\frac{E (X)}{a}}}\\

我们把 |X-\mu | 代入：

{\displaystyle P (|X-\mu | > a)\leq {\frac{E(|X-\mu |)}{a}}}\\

很显然等价于：

{\displaystyle P((X-\mu )^2 \geq a^2) \leq \frac{E((X-\mu )^2)}{a^2}=\frac{\sigma ^2}{a^2}}\\

令 k=\frac{a}{\sigma } ，容易得到k > 0 ：

{\displaystyle P(|X-\mu | \geq k\sigma )\leq \frac{1}{k^2}}\\



posted @ 2018-01-28 13:07  cbam  阅读(2647)  评论(0)    收藏  举报