大模型- 强化学习-贝尔曼方程 -77
引用
Https://newfacade.github.io/notes-on-reinforcement-learning/04-bellman.html
帮我用通俗的语言讲解
https://gemini.google.com/app/50c4f9a423c67adb
想象一下你正在玩一个迷宫游戏，目标是找到出口并获得奖励。在这个过程中，你需要在每个路口做出选择（向上、向下、向左或向右）。贝尔曼方程就像一个智能向导，帮助你评估在每个位置（状态）的“价值”，从而做出最佳决策。
贝尔曼方程的核心思想非常直观：一个位置的价值 = 马上能得到的奖励 + 未来所有可能位置的价值（乘以一个折扣）。
当前状态的好坏不仅取决于你马上能获得的即时奖励，还取决于你接下来能到达的状态的好坏。
假设你在迷宫的某个路口，前面有两条路：
路A： 走一步就能得到1个金币（即时奖励），但接下来会进入一个比较危险的区域（未来价值较低）。
路B： 走一步没有金币（即时奖励为0），但能让你离出口更近，未来的期望收益更高（未来价值较高）。
贝尔曼方程会帮助你计算并比较这两条路的总价值（即时奖励 + 未来价值），从而让你做出更明智的选择。
两个关键概念：
状态价值（State Value）: 指的是在某个特定状态（比如迷宫中的某个位置）的长期期望回报。它衡量的是“身处这个位置有多好”。
动作价值（Action Value）: 指的是在某个状态下，采取某个特定动作（比如向上走）后的长期期望回报。它衡量的是“在这个位置做这个动作有多好”。
你可能注意到上面提到了“折扣因子”（gamma）。这是一个0到1之间的数字，用来平衡即时奖励和未来奖励的重要性。
如果折扣因子接近0，意味着你更看重眼前的利益（“短视”）。
如果折扣因子接近1，意味着你更看重长远的利益（“有远见”）。
在迷宫的例子中，未来的奖励可能没有眼前的奖励那么确定，所以我们需要给未来的价值打个折扣。
贝尔曼方程是强化学习中的一个基本工具，它通过将一个复杂的大问题（如何走出迷宫）分解成一系列的小问题（在每个路口如何选择），来帮助智能体（Agent）学习如何在环境中做出最优决策，以获得最大的长期回报。
数学解释
贝尔曼方程有两种主要形式：
贝尔曼期望方程（Bellman Expectation Equation）
贝尔曼最优方程（Bellman Optimality Equation）
始推导之前，先统一一些常用符号：
s：状态（State）
a：动作（Action）
R：奖励（Reward）
π(a|s)：策略（Policy），表示在状态 s 下选择动作 a 的概率
γ：折扣因子（Discount Factor，0 ≤ γ < 1），用于平衡短期和长期奖励
Vπ(s)：状态价值函数（State-Value Function），表示从状态 s 出发，遵循策略 π 所能获得的期望总回报
Qπ(s,a)：动作价值函数（Action-Value Function），表示在状态 s 下执行动作 a，然后按照策略 π 行动所能获得的期望总回报
Gt：总回报（Total Return），表示从时间 t 开始后续的折扣奖励总和
Gt = Rt+1 + γRt+2 + γ²Rt+3 + ...
贝尔曼期望方程描述了在给定策略 π下，价值函数的递推关系。
方程的推导
Vπ(s) = Eπ[Gt | St = s]
Gt = Rt+1 + γ(Rt+2 + γRt+3 + ...)
= Rt+1 + γGt+1
Vπ(s) = Eπ[Rt+1 + γGt+1 | St = s]
Vπ(s) = Eπ[Rt+1 | St = s] + γ Eπ[Gt+1 | St = s]
- 第一项 Eπ[Rt+1 | St = s]：表示在状态 s 下，按照策略 π 所得到的立即奖励的期望
- 第二项 γ Eπ[Gt+1 | St = s]：表示所有可能后续状态的期望价值，并乘以折扣因子 γ。这里 Eπ[Gt+1 | St = s] 实际上就是后续状态 s' 的价值 Vπ(s') 的期望。
Vπ(s) = ∑a π(a|s) [ R(s,a) + γ ∑s' P(s'|s,a) Vπ(s') ]
- ∑a π(a|s)：表示在状态 s 下，对所有动作 a 按策略概率进行加权平均。
- R(s,a)：表示采取动作 a 后得到的立即奖励。
- ∑s' P(s'|s,a) Vπ(s')：表示动作 a 后续可能转移到各个状态 s' 的概率，加权后继状态的价值。
线性代数的视角
如果把所有状态的价值用向量表示，这个方程可以写成更紧凑的矩阵形式。
Vπ：|S| × 1 的价值向量
Rπ：|S| × 1 的奖励向量，每个元素是 Eπ[Rt+1 | St = s]
Pπ：|S| × |S| 的状态转移矩阵，
贝尔曼期望方程可以写成
Vπ = Rπ + γ Pπ Vπ
-->
(I - γ Pπ) Vπ = Rπ
-->
Vπ = (I - γ Pπ)⁻¹ Rπ
解析解告诉我们：
只要知道状态转移概率 P、奖励函数 R 以及策略 π，就可以一次性求出所有状态的价值。
这就是动态规划方法的本质：用线性代数直接求解。
最优价值函数 V*(s)
上面的推导过程：贝尔曼期望方程是针对给定策略π
最优价值函数 V(s)
V(s) = max_π Vπ(s)
在所有策略中，状态 s 的最大期望价值。
推导方法和期望方程类似，不过这里不再是对所有动作按策略概率取平均，而是选择使期望价值最大的动作：
推导：
V(s) = max_a E[ Rt+1 + γ V(St+1) | St = s, At = a ]
-->
V(s) = max_a [ R(s,a) + γ ∑s' P(s'|s,a) V(s') ]
关键点:
这里的 max_a 表示：不管之前用的是什么策略，现在选择那个能让后续回报最大的动作。
由于有 max，方程是非线性的，不能直接像期望方程那样用矩阵求逆来解。
通常需要用迭代算法，如值迭代（Value Iteration）或策略迭代（Policy Iteration）来求解。
总结
贝尔曼期望方程：描述了固定策略下，状态价值与后续状态价值的递推关系，是线性的，可以用线性代数直接求解。
Vπ = Rπ + γ Pπ Vπ
贝尔曼最优方程：描述了最优策略下，价值函数需要满足的条件。
包含了 max 运算，是非线性的，通常需要迭代求解。
V(s) = max_a [ R(s,a) + γ ∑s' P(s'|s,a) V(s') ]
理解这两种方程及其区别，是掌握强化学习核心算法（如 Q-Learning、SARSA、动态规划）的关键。
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