数学基础-同余

同余式

若两个整数 \(a, b\) 模 \(m\) 的余数相同，则称 \(a, b\) 模 \(m\) 同余，记为 \(a \equiv b \pmod{m}\)。

费马小定理

若 \(p\) 为质数，且 \(a, p\) 互质，则 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)。

欧拉定理

若 \(a, m\) 互质，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{p}\)，其中 \(\varphi(\cdot)\) 为欧拉函数。

扩展欧拉定理/欧拉降幂公式

\[a^b \equiv \begin{cases} a^{b\bmod{\varphi(m)}},&\gcd(a,m)=1\\ a^{b},&\gcd(a,m)\ne1,b<\varphi(m), &\pmod{m}\\ a^{b\bmod{\varphi(m)}+\varphi(m)},&\gcd(a,m)\ne1, b\ge\varphi(m)\\ \end{cases} \]

威尔逊定理

任意一个大于 \(1\) 的数 \(p\) 是质数的充要条件为：
\(p>1, (p-1)!\equiv -1 \pmod{p} \Leftrightarrow p\in\mathbb{P}\)

推论

• 若 \(p\) 是质数，则\((p-1)!+1 \equiv 0 \pmod{p}\)
• 若 \(p\) 是大于 \(4\) 的合数，则 \((p-1)!\equiv 0\pmod{p}\)

乘法逆元

若 \(a, b\) 互质，且满足同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod{b}\)，则称 \(x\) 为 \(a\) 模 \(b\) 的乘法逆元，记作 \(a^{-1}\)

最大公约数

欧几里得算法/辗转相除法

\[\forall a,b\in\mathbb{N},b\ne0,\ \gcd(a,b)=\gcd(a,a \bmod b) \]

递归求解，核心代码如下：

ll gcd(ll a, ll b) {
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

对于 C++17，可使用 <numeric> 头中的 std::gcd 与 std::lcm 来求最大公约数和最小公倍数。

裴蜀定理

\[\forall a,b\in\mathbb{Z},\exists x,y\in\mathbb{Z},\text{s.t.}ax+by=\gcd(a,b) \]

推广1

\[\forall a,b,k\in\mathbb{Z},\exists x,y\in\mathbb{Z},\text{s.t.}ax+by=\gcd(a,b)\times k \]

推广2

\[\forall a_i\in\mathbb{Z},\exists x_i\in\mathbb{Z},\text{s.t.}\sum_{i=1}^{n}a_ix_i=\gcd(a_1,...,a_n) \]

若 \(a_i<0\)，则可带入 \(|a_i|\)。

扩展欧几里得算法

求不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组整数解。
(1) 当 \(b=0\) 时有 \(ax=a\)，故 \(x=1, y=0\)。
(2) 当 \(b\ne0\) 时，
由欧几里得算法，\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)。
由裴蜀定理，有

\[\gcd(a,b)=ax+by \]

\[\begin{aligned} \gcd(a,a\bmod b)&=bx_1+(a\bmod b)y_1\\ &=bx_1+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\times b)y_1\\ &=ay_1+b(x_1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1) \end{aligned} \]

故 \(x=y_1, y=x_1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1\)，可递归求解出特解 \((x_0, y_0)\)，然后根据 \(ax+by=0\) 构造通解：

\[\left\{ \begin{aligned} x&=x_0-\frac{b}{\gcd(a,b)}\times k\\ y&=y_0+\frac{a}{\gcd(a,b)}\times k \end{aligned} \right. \]

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

求不定方程 \(ax+by=c\) 的一组整数解。
根据裴蜀定理，对 \(c\) 进行分类讨论：
(1) 若 \(\gcd(a,b)\mid c\)，则有整数解。先用扩欧算法求出 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的解，再乘上 \(\frac{c}{\gcd(a,b)}\)，即可得原方程的特解，最后根据 \(ax+by=0\) 构造通解。
(2) 若 \(\gcd(a,b)\nmid c\)，则无整数解。

求同余方程 \(ax\equiv b\pmod{m}\) 的一组整数解。
(1) 先将同余方程转化为不定方程，由 \(ax\equiv b\pmod{m}\) 得 \(ax\equiv m(-y)+b\) 即 \(ax+my=b\)。
(2) 根据裴蜀定理，当 \(\gcd(a,m)\mid b\) 时有整数解，否则无整数解。若有整数解，则用扩欧算法先求出 \(ax+my=\gcd(a,m)\) 的解，再乘上 \(\frac{b}{\gcd(a,m)}\) 得原方程的特解。

乘法逆元

定义

若正整数 \(a,p\) 互质，且 \(ax\equiv 1\pmod{p}\)，则称 \(x\) 为 \(a\) 模 \(p\) 的乘法逆元，记作 \(a^{-1}\)。

求一个数的乘法逆元。
(1) 若 \(p\) 是质数，则由费马小定理有 \(a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod{p}\)，故只需用快速幂求 \(a^{p-2}\) 即可。
(2) 若 \(p\) 不一定是质数，则由可通过求解同余方程 \(ax\equiv 1\pmod{p}\)，用扩欧算法求 \(x\) 即可。

线性逆元递推公式

求 \([1,n]\) 多个数的模 \(p\) 逆元。
首先 \(1^{-1}\equiv 1\pmod{p}\)，令 \(p=k\times i+r, (1<r<i<p),k=\lfloor\frac{p}{r}\rfloor,r=p-\lfloor\frac{p}{r}\rfloor\times i=p\bmod i\)，由 \(k\times i+r\equiv 0\pmod{p}\)，则 \(i\equiv -k^{-1}r\pmod{p}\)，故有：

\[\begin{aligned} i^{-1}&\equiv -k\times r^{-1}\pmod{p}\\ &\equiv -\lfloor\frac{p}{i}\rfloor (p\bmod i)^{-1}\pmod{p}\\ &\equiv (p-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor) (p\bmod i)^{-1}\pmod{p} \end{aligned} \]

若用 \(inv[i]\) 表示 \(i\) 的模 \(p\) 逆元，则递推公式为 \(inv[i]=(p-\lfloor\frac{p}{i}\rfloor)\times inv[p\%i]\%p\)。从 \(1\) 到 \(n\) 依次求模 \(p\) 逆元即可，时间复杂度为 \(O(n)\)。

求 \([1!,n!]\) 多个数的模 \(p\) 逆元。
若用 \(fac\_inv[i]\) 表示 \(i!\) 的模 \(p\) 逆元，可先求出 \(n!\) 的模 \(p\) 逆元 \(fac\_inv[n]\)。由 \(n!\times fac\_inv[i]\equiv 1\pmod{p}\) 和 \(n!=n(n-1)!\)，可得 \((n-1)!\) 的模 \(p\) 逆元 \(fac\_inv[n-1]=n\times fac\_inv[n]\%p\)。从 \(n!\) 到 \(1!\) 依次求模 \(p\) 逆元即可，时间复杂度为 \(O(n)\)。

注意事项

运算时取模

1. 加法：\((a+b)\%p\)
2. 减法：\(((a-b)\%p+p)\%{p}\)
3. 乘法：\((a\times b)\%p\)
4. 除法：\((a\times inv(a))\%p\)，其中 \(inv(a)\) 为 \(a\) 的乘法逆元。

向上取整

C++是整除时默认向 \(0\) 取整。
\(\forall a,b\in N_{+}, \lceil\frac{a}{b}\rceil=\frac{a+b-1}{b}\)