霍尔定理证明

霍尔定理内容：

一个二分图的左侧节点集合 \(S\) 全部有匹配，是对于任意 \(S' \subset S\)，与 \(S'\) 中任意点相邻的点的总数大于等于 \(S'\) 的大小的充要条件。

证明：

充分性：

因为所有点都存在匹配（任意两点的匹配不相同），且匹配一定是相邻点，所以相邻点的总数一定大于等于点数。

必要性：

这里需要用到反证法。

那么我们需要证伪：对于一个二分图 \(S\)，存在 \(S' \subset S\)，与 \(S'\) 中任意点相邻的点的总数小于 \(S'\) 的大小，使一个二分图的左侧节点集合 \(S\) 全部有匹配。

我们可以发现，如果相邻节点数小于 \(S'\) 大小，那么 \(S'\) 的匹配数就小于 \(S'\) 的大小，这明显与条件相悖。

证毕。