虚树

前言

这是给zro自己看的，防止那个椿霍过一段时间忘了用的。
真想学算法的别看这个了，OIwiki讲的挺详细的。

前置算法

LCA
单调栈（建虚树的第二种方法，这里不提及）

核心思想

我们将需要建树的关键点排序，两两求LCA，再对关键点及其LCA排序，再按原树祖孙顺序建树就好了。
这里建树要加上LCA的原因就是为了正确保存原树中关键点的祖孙关系。
至于怎么判断祖孙顺序。我们发现只要对任意dfs序相邻的两点求LCA，将LCA和dfs序排在后面的点连线就可以还原这棵树。
（毕竟你考虑这两个点的关系只有两种，一种是dfn小的是大的的爹，一种是兄弟。是不是都成立？）

复杂度

时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

参考代码

zro手敲，包丑细节不包对的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s;
const int N=5e5+10;

int fa[N],dep[N],sz[N],top[N],son[N];
vector<int> vec[N];

int dfn[N];
int h[N],m,a[N],len;//存关键点，关键点数，关键点极其lca，关键点及其lca数

struct virtual_tree
{
    int fa;
    vector<int> ch;
}tr[N];

namespace LCA
{
    void dfs1(int u,int father)
    {
        dep[u]=dep[father]+1,fa[u]=father,sz[u]=1;
        
        for(int x : vec[u])
        {
            if(x==fa[u]) continue;
            dfs1(x,u);
            if(sz[x]>sz[son[u]]) son[u]=x;
            sz[u]+=sz[x];
        }
    }

    void dfs2(int u,int t)
    {
        top[u]=t;
        if(son[u]) dfs2(son[u],t);
        for(int x : vec[u])
        {
            if(x==son[u] || x==fa[u]) continue;
            dfs2(x,x);
        }
    }

    int lca(int u,int v)
    {
        while(top[u]!=top[v])
        {
            if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
            u=fa[top[u]];
        }
        if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
        return u;
    }
}

namespace Virtual_Tree
{

    inline void connect(int a,int b)
    {
        tr[b].fa=a;
        tr[a].ch.push_back(b);
    }

    bool cmp(int x,int y)
    {
        return dfn[x]<dfn[y];
    }
    void build()
    {
        sort(h+1,h+m+1,cmp);
        for(int i=1;i<m;i++)
        {
            a[++len]=h[i];
            a[++len]=LCA::lca(h[i],h[i+1]);
        }
        a[++len]=h[m];
        sort(a+1,a+len+1,cmp);
        len=unique(a+1,a+len+1)-a-1;//记得去重呀。

        for(int i=1,lc;i<len;i++)
        {
            lc=LCA::lca(a[i],a[i+1]);
            connect(lc,a[i+1]);
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        vec[x].push_back(y),vec[y].push_back(x);
    }
    LCA::dfs1(s,0);
    LCA::dfs2(s,s);

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<LCA::lca(a,b)<<'\n';
    }

    return 0;
}

应用题目

CF2127 E
做不出来可以去吃饭了。这道题的（炒鸡详细的zro手打）题解 在这里