数学的大厦（七）：群、环、域

欢迎来到“结构”的乐园：群、环、域。让我们暂时忘掉数本身，只关注它们进行操作的方式。

群，对称性的语言。它的核心思想是，我们只关心一个集合，以及集合上的一种合成方式，比如加法或乘法，它需要满足几条非常优雅的公理。

1. 封闭性：你拿集合里任何两个元素进行合成，结果必须还在这个集合里。
2. 结合律：(a · b) · c = a · (b · c)。顺序不重要，怎么组合都行。
3. 单位元：存在一个特殊的“零”元素，比如加法里的0，乘法里的1，使得任何元素与它合成都等于自己。a · e = e · a = a。
4. 逆元：对于任何一个元素，都存在一个“相反”的元素，使得它们合成后等于单位元。a · a' = a' · a = e。

哪些东西是群？整数集与加法：满足所有条件。单位元是0，逆元是相反数。非零有理数集与乘法：单位元是1，逆元是倒数。 一个正方形的所有旋转对称（转0°, 90°, 180°, 270°）：合成就是连续旋转。群是描述对称的终极语言！

环，能加能乘的天地。环是在群的基础上，增加一种运算，并规定它们如何互动。它首先是一个加法群，满足上面所有四条。然后增加乘法运算，要求：

1. 乘法封闭性和结合律。
2. 分配律：乘法对加法可以分配：a · (b + c) = a·b + a·c。
   注意：乘法不一定要求有单位元和逆元！

哪些东西是环？整数集，配合我们熟悉的加法和乘法，就是一个经典的环。所有实系数多项式，也是一个环。

域，域是环的升级版，是运算的天堂。它是一个环。并且，它的非零元素在乘法下也构成一个群，即乘法也有单位元和逆元。

哪些东西是域？有理数集、实数集、复数集，都是域。因为你可以安全地做加、减、乘、除（除了除以零）。整数集不是域，因为整数（比如2）的乘法逆元（1/2）不在整数集里。

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整数 (ℤ)、实数系数多项式 (ℝ[x])、以及 n×n 的实数矩阵 (M_n(ℝ))，它们都是“环”这个抽象蓝图的具体实现。它们的个性差异体现在对额外公理的遵守上：

整数环 (ℤ)：是一个很朴素的环。它有乘法单位元 1。但不是一个域，因为除了 ±1 以外，其他整数的乘法逆元（倒数）不再是整数。

多项式环 (ℝ[x])：也是一个有单位元 1 的环。它比整数环“好”一点，因为它有除法，带余除法，但它也不是域，因为多项式的乘法逆元，比如 1/(x+1)，不再是多项式。

矩阵环 (M_n(ℝ))：这是一个个性鲜明的环！它有乘法单位元（单位矩阵 I）。但是，它的乘法是不可交换的！ 在绝大多数情况下，A * B ≠ B * A。这打破了我们来自数字乘法的直觉。它也不是域，因为只有可逆矩阵才有乘法逆元，而很多矩阵是不可逆的，比如零矩阵。