三省三校1

T2 开平方

要证明“$x$ 能表示为两个平方数之差当且仅当 $x$ 是奇数或4的倍数”，需从以下两方面分析：

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1. 充分性（满足条件的数一定能表示为平方差）
奇数：  
  设 $x = 2k + 1$（$k$ 为整数）。取 $y = k + 1$，$z = k$，则：  
  
  $y^2 - z^2 = (k + 1)^2 - k^2 = 2k + 1 = x.$
    
  因此，所有奇数均可表示为平方差。

 4的倍数：  
  设 $x = 4k$（$k$ 为整数）。取 $y = k + 1$，$z = k - 1$，则:
  $y^2 - z^2 = (k + 1)^2 - (k - 1)^2 = 4k = x.$
  因此，所有4的倍数均可表示为平方差。

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2. 必要性（能表示为平方差的数必为奇数或4的倍数）
平方差公式为 $x = (y - z)(y + z)$，令 $a = y - z$，$b = y + z$，则 $a$ 和 $b$ 需满足：  
1. $a$ 和 $b$ 同奇偶性：  
   因为 $a + b = 2y$ 必须为偶数，所以 $a$ 和 $b$ 同为奇数或同为偶数。  
2. $x = a \cdot b$：  
   若 $a$ 和 $b$ 均为奇数，则 $x$ = 奇数 $\times$ 奇数 = 奇数。  
   若 $a$ 和 $b$ 均为偶数，设 $a = 2m$，$b = 2n$，则 $x = 4mn$，即 $x$ 为4的倍数。  

综上，若 $x$ 可表示为平方差，则 $x$ 必为奇数或4的倍数。

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结论

充要条件 ：$x$ 能表示为两个平方数之差当且仅当 $x$ 是奇数或4的倍数。 

 

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

signed main() {
    int L, R;
    cin >> L >> R;
    // 计算奇数个数
    int odd = (R + 1) / 2 - L / 2;
    // 计算4的倍数个数
    int mul4 = R / 4 - (L - 1) / 4;
    cout << odd + mul4;
    return 0;
}

 

T4 异或

考虑20%的特殊数据，发现可以把贡献拆分，我们可以考虑将问题分解到每一位上，分别计算每一位对总和的贡献。

贡献拆分：联想- “开灯，还是开灯”这道题

100%的数据：

对于第k位（从最低位开始，k=0,1,2,...），如果x(x<=n)的第k位是1，y(y<=m)的第k位是0，其余可以随意，对答案的贡献是个组合数。

对于不是每一位可以随意选择0或者1的数字，可以转而考虑周期性。

000000[0]0

000000[0]1

000000[1]0

000000[1]1

000001[0]0

000001[0]1

000001[1]0

000001[1]1

000010[0]0

000010[0]1

000010[1]0

...

可以观察得到，对于第k位，先是0，后是1，周期大小是2^(k+1).

第k位的周期是2^(k+1)，即每2^(k+1)个数，第k位会经历2^k个0和2^k个1。

具体来说，对于第k位：

在完整的周期中，0和1的个数都是2^k。

对于不完整的部分，可以计算余下的数中有多少个0和1。

ans = 第k位【 x(x<=n)中的1 】* 【 y(y<=m)中的0】 +  【x(x<=n)中的0】 *【 y(y<=m)】中的1       * (1<<k) 

```
for (int i = 0; i <= 60; ++i) {//周期规律 000...111
    LL x = 1LL << (i + 1LL);//周期的大小
    LL y = x>>1;            //周期大小的一半
    LL c = (n + 1LL)/x;    //有多少个完整的周期
    LL p = (n + 1LL)%x;    //不完整的部分
    ua[i] = (c * y % M + max(p - y, 0LL) % M) % M;//完整的周期个数 * 周期的一半 + 不完整的部分 - 周期的一半
    ub[i] = (n - ua[i]) % M;
}
```

查看代码

 #include<bitsstdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 67;
const LL M = 998244353;
int T;
LL n, m, ua[N], ub[N], va[N], vb[N];
int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%lld%lld", &n, &m);
        for (int i = 0; i <= 60; ++i) {//周期规律 000...111
            LL x = 1LL << (i + 1LL);//周期的大小
            LL y = x>>1;            //周期大小的一半
            LL c = (n + 1LL)/x;    //有多少个完整的周期
            LL p = (n + 1LL)%x;    //不完整的部分
            ua[i] = (c * y % M + max(p - y, 0LL) % M) % M;//完整的周期个数 * 周期的一半 + 不完整的部分 - 周期的一半
            ub[i] = (n - ua[i]) % M;
        }
        for (int i = 0; i <= 60; ++i) {
            LL x = 1LL << (i + 1LL);//周期的大小
            LL y = x>>1;            //周期大小的一半
            LL c = (m + 1LL)/x;    //有多少个完整的周期
            LL p = (m + 1LL)%x;    //不完整的部分
            va[i] = (c * y % M + max(p - y, 0LL) % M) % M;//完整的周期个数 * 周期的一半 + 不完整的部分 - 周期的一半
            vb[i] = (m - va[i]) % M;
        }
        LL ans = 0;
        for (int i = 0; i <= 60; ++i)
            (ans += (ua[i] * vb[i] % M + ub[i] * va[i] % M) % M * ((1LL << i) % M)) %= M;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}