斜率优化dp

P3195 [HNOI2008]玩具装箱

 

      直线的斜率是2*a[i]，用一个已知斜率的直线去向上平移。当前面的线段斜率小于2*a[i]时，截距不是最小的，是要淘汰的（弹出队头），直到碰到第一条斜率大于2*a[i]的点（假设p<q，斜率(p,q)>2*a[i]），这个点（b[j]，$$dp[j]+b[j]^2$$）即p点，使得dp[i]最小，如上图。

　　随着a[i]是单调递增的，后面的点继续入队，作为后备力量，前面的点会随a[i]增大而逐渐淘汰。

　　如果是凹进去的点，从图形上看出直线平移的过程，凹进去的点没有优势，根据斜率比较判断是否为凹点，队尾弹出。

　　总结：假设k<p<q，队首出队条件：斜率slope(k,p)<2*a[i]，k出队； 队尾出队条件：slope(k,p) > 2*a[i] 且slope(p,q) < 2*a[i], p出队尾。

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long LL;
const int maxn=50010;
int n,L;
db sum[maxn],dp[maxn];
int head,tail,Q[maxn];
inline db a(int i){return sum[i]+i;}
inline db b(int i){return a(i)+L+1;}
inline db X(int i){return b(i);}
inline db Y(int i){return dp[i]+b(i)*b(i);}
inline db slope(int i,int j){return (Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&L);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&sum[i]);
        sum[i]+=sum[i-1];
    }
    head=tail=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(head<tail&&slope(Q[head],Q[head+1])<2*a(i)) ++head;
        dp[i]=dp[Q[head]]+(a(i)-b(Q[head]))*(a(i)-b(Q[head]));
        while(head<tail&&slope(i,Q[tail-1])<slope(Q[tail-1],Q[tail])) --tail;
        Q[++tail]=i;
    }
    printf("%lld\n",(LL)dp[n]);
    return 0;
}