求解Ax=0：主变量，特解

麻省理工线性代数笔记

第七讲：求解\(Ax=0\)，主变量，特解

1. 消元

   • 消元不会改变解的值。包括行消元和列消元，对矩阵\(A\in R^{m \times n}\)进行行消元，就是使用矩阵的初等行变换，使得第\(i\)行第一个不等于\(\ne 0\)的元素下方的所有元素都变为\(0\)。这个过程共进行\(m-1\)次。

2. 阶梯矩阵、主列、自由列、主元：

   • 消元结束之后将形成一个阶梯矩阵，其中每一行第一个\(\ne 0\)的元素所在的列被称为主列。例如\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)这个矩阵中，第一列与第三列就是主列，矩阵中共两个主列，除了主列以外的则是自由列。
   • 主元则是每一行第一个\(\ne 0\)的元素，在以上的矩阵中，第一行的主元是\(1\)，第二行的主元是\(4\)，第三行没有主元，这个矩阵共两个主元。

3. 秩、自由变量

   • 矩阵中的主元个数就是矩阵的秩，表示为\(r\)。矩阵的列数，也就是\(Ax=0\)这个线性方程组中变量的个数，表示为\(n\)，自由变量个数\(=n-r\)。

4. 解空间、特解：

   • 此处的解空间是满足\(Ax=0\)的\(x\)的集合，解空间是\(n-r\)个特解的线性组合，特解的个数也就是自由列的个数。特解的取法是对于第\(i\)个特解，该特解对应于第\(i\)个自由列对应的未知量取1，对应其他自由列其他未知量取0，这种取法比较特殊，所以叫特解。

5. 最简化阶梯矩阵、零空间矩阵

   • 将所有主元变为1，同时将所有主元上方的元素变为0，就获得了最简化阶梯矩阵。我们可以将最简化阶梯矩阵的主列收集起来放在左边，它是一个\(r \times r\)的\(I\)，与此同时，将最简化阶梯矩阵的自由列收集起来放在右边，定为\(F\)，合成的矩阵\(R\)是\(\begin{pmatrix} I & F \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)，此时，满足\(RN=0\)的零空间矩阵\(N=\begin{pmatrix} -F \\ I \end{pmatrix}\)，零空间矩阵就是以所有特解作为列的矩阵，该矩阵中的\(I\)就是通过对各自由变量的分别取1形成的。

6. 回代表达式：

   • 回顾\(Rx=0\)，\(\begin{pmatrix} I & F\\ \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} x_{pivot}\\ x_{free} \end{pmatrix}=0\)，得到一个在单纯形法中得到了应用的结论，那就是回代表达式：\(x_{pivot}=-Fx_{free}\)，其中，\(F\)是行最简阶梯矩阵的自由列的集合，也就是这些列的系数的集合。

7. 零空间的维度

   • \(Ax=0\)，其中\(x\in R^{n}\)，根据零空间矩阵\(N=\begin{pmatrix} -F \\ I \end{pmatrix}\)可知，零空间矩阵的维度是\(n\)，其列数则为自由变量的个数，即\(n-rank_{A}\)。
   • \(Ax=0\)的解是零空间矩阵的\(N\)的列空间，该空间是一个子空间，其维度是零空间矩阵的列数，解是零空间中的任意一个向量，当\(A\)中出现自由变量的时候，此时解有无数个。当\(A\)中没有自由变量的时候，\(N=0\)，此时只有唯一解为零向量。