【知识点】一些数论

• 数论函数，积性函数

陪域：包含值域的任意集合

数论函数：定义域为正整数，陪域为复数的函数

　　积性函数：对于任意互质的整数 a,b 有 f(ab) = f(a)f(b) .

　　完全积性函数：对于任意整数 a,b 有 f(ab) = f(a)f(b) .　　

　　　　常见的积性函数：

　　　　　　$\phi （欧拉函数，计算与n互质的正整数之数目）$

　　　　　　μ（莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目）

$\sigma （n的所有正因子之和）$

$d（n的正因子数目）$

　　　　常见的完全积性函数：

　　　　　　ϵ（定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”）

　　　　　　I（不变的函数，定义为 1(n) = 1）

$id（单位函数，定义为\; Id(n)\; =\; n）$

 

• $狄利克雷卷积$

　　设 f, g 是两个数论函数，设 h= f ∗ g , 它们的狄利克雷卷积是：

 

　　性质：满足交换律，结合律，分配率，（若均为积性函数，卷积也为积性函数）

　　单位元：ϵ

　　结合狄利克雷卷积得到的几个性质：