乘法逆元总结

一、逆元定义

二、求逆元的方法

1.扩展欧几里得(exgcd) 适用于单个查找或者模p很大的情况下 , p 不是质数的时候也可以使用

此处是线性同余方程(a*x≡b(modm))的特殊情况 (b=1)

所求解x=x*b/d%m，若要保证x是最小的正整数则x=(x%m+m)%m

#include<iostream>
using namespace std;
//扩展欧几里得算法
// 对任意一组 ax+by=m 存在一组x，y满足ax+by=gcd(a,b) 即m=gcd(a,b)
int exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int t = exgcd(b, a % b, y, x);
    y = y - a / b * x;
    return t;
}    
int main() {
    int x, y;
    int a, m;
    cin >> a >> m;
 
    int d = exgcd(a, m, x, y);
 
     x = x / d % m;
    x = (x % m + m) % m;
    printf("%d", x);
 
    return 0;
}

2.快速幂 O(logk)

费马小定理:

 

将该公式进行变形则可得到

所以我们可以用快速幂来算出的值，这个数就是a的逆元

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qmi(ll a, ll b,ll p) {
    ll res = 1;
 
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main() {
    int a, b, p;
    cin >> a >> b>>p;
    ll x = qmi(a, b - 2,p); 
 
    return 0;
}

3.线性求逆元 (用于求一连串数字对于一个模p下的逆元) O(n)

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 3e6 + 10;
int inv[N];
int n, p;
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &p);
 
    inv[1] = 1;
 
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        inv[i] = (LL)(p - p / i) * inv[p % i] % p;
 
 
    return 0;
}

4.阶乘逆元 O(n) 只适用于模数为质数的情况

因此我们可以先求出n!然后进行递推来求出1->n!所有的逆元

递推式为:

 

 

 最后可以得到

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 3e6 + 10;
ll a[N], b[N];
ll n, p;
ll qmi(ll a, ll b, ll p) {
    ll res = 1;
    while (b){
        if (b & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main() {
    cin >>n >> p;
 
    a[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        a[i] = (a[i - 1] * i) % p;
 
        b[n] = qmi(a[n], p - 2, p);
 
 
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--) 
        b[i] = (b[i + 1] * (i + 1)) % p;
 
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << b[i] * a[i - 1]%p<<endl;
 
 
 
    return 0;
}