关于线性基的一些理解

参考博客：

https://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5869991.html

线性基的基本性质：原数组的异或值域等于线性基数组的值域

也就是，原数组能异或出来的值，线性基一样可以得到，如果我们求原数组异或值的性质，我们只需要在$lgn$个数中讨论

极大地降低了问题的复杂度

从中推导出的性质：线性基子集的异或和不为零，如果为零，那么肯定有个不应该加入线性基的数被加入。

插入：

如果从高到低插入，插入后的基底大概会是这样的

 

$$\begin{bmatrix}1***\\ 01**\\ 001*\\ 0001\\ \end{bmatrix}$$

 

bool insert(int x)//插入x
{
    for(int i=63;i>=1;i--){
        if(x&(1ll<<i)){
            if(a[i]==0){
                a[i]=x;//放入线性基，那么可以是插入的了
                return 1;
            }
            else x^=a[i];//否则插入x^a[i]，既然a[i]插入了，并且x^a[i]插入了，那么相当于x也插入了
        }
    }
    return 0;
}

 

最大异或和：

根据上面构造的基底，我们可以从高往低枚举基底

如果ans当前位为1，肯定不需要去异或基底，因为异或后当前位变成0，低位的影响就无足轻重了

如果ans当前位为0，肯定需要去异或基底，因为异或后当前位变成1

所以只要能使得ans增加的，我们就异或上它

for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];//从线性基中得到最大值

　　

求区间基底

https://codeforces.com/contest/1100/problem/F

void inser(int inde,int x){
    rep(i,0,20)base[inde][i]=base[inde-1][i];
    PII now=mp(x,inde);
    per(i,0,20){
        if(now.fi&(1<<i)){
            if(base[inde][i].fi==0){
                base[inde][i]=now;
                return ;
            }
            if(now.se>base[inde][i].se)swap(now,base[inde][i]);
            now.fi^=base[inde][i].fi;
        }
    }
}