HN省队集训2024讲课题解

题单

Nauuo and Pictures (hard version)

考虑 dp。

设 \(f_{id,i,j}\) 表示对于第 \(id\) 张图片，现在进行了 \(i\) 次操作，其中 \(j\) 次是将某数加一，权值的期望值。 \(\operatorname{O}(1)\) 转移是简单的。

这样时间复杂度是 \(\operatorname{O}(nm^2)\) 的，考虑优化。

考虑将每个照片拆成 \(w_i\) 个同类的且权值为 \(1\) 的照片，那么现在照片就只有两种：\(a_i\) 等于 \(1\) 或 \(a_i\) 等于 \(0\)。

那么就可以将 \(id\) 那一位去掉。 设 \(f_{i,j}\) 表示进行 \(i\) 次加一操作，\(j\) 次减一后的期望代价，有转移：

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}\times \frac{i+\sum_{k=1}^{n}{w_k[a_k=1]}}{i-j+\sum_{k=1}^{n}w_k} \]

\[f_{i,j}=f_{i,j-1}\times \frac{\sum_{k=1}^{n}w_k[a_k=0]-j}{i-j+\sum{k=1}^{n}w_k} \]

这样时间复杂度是 \(\operatorname{O}(m^2\log m)\)，可以通过本题，但预处理逆元可以做到 \(\operatorname{O}(m^2)\)。

Anticube

首先有个想法：对每个 \(a_i\) 分解质因数，然后用 \(map\) 找到与之冲突的数，取两者中间出现最多的数。

但这样是 \(\operatorname{O}(n\sqrt{a_i})\) 的，无法通过。（不过好像可以 BSGS？

考虑优化：首先可以先将 \(\sqrt[3]{a_i}\) 内的质因数先除掉，这样是可以实现的。

那么剩下的数就一定是一下几种形式：\(p^2\)，\(pq\) 和 \(p\)。

首先考虑剩下的是 \(p^2\)，那么直接开根就行。

如果剩下的是 \(pq\)，那么想要与它凑成完全立方数就只能含有 \(p^2q^2\)，但 \(p,q\) 都是大于 \(3000\) 的整数
，所以 \(pq>10^10\)，直接将答案加一，不要放进 \(map\)。

剩下 \(p\) 同理。

那么这样我们就以 \(\operatorname{O}(n\sqrt[3]{n})\) 解决了这道题。

PS:为了防止类似 abs((__int128)x) 之类的悲剧发生，这边建议手写 \(\log V\) 的开根。（虽然这题没有涉及 __int128，但有精度问题的函数少用）。

Minimum Sum of Maximums P

首先考虑把这个奇怪的贡献拆一下，可以拆成：\(\sum_{i=1}^{n-1}{\frac{a_i+a_{i+1}+|a_i-a_{i+1}|}{2}}\)。

为了避免一些奇怪的边界，我们在序列左右插入一个极大值，最后减去即可。

考虑到 \(a_i+a_{i+1}\) 是固定的，所以我们要最小化 \(\sum_{i=1}^{n-1}{|a_i-a_{i+1}|}\)。

设区间左边那个固定点值为 \(x\)，右边那个值为 \(y\)，若 \(x\le y\)，那么直接将这段数从小到大排序一定不会更劣。类似的，如果 \(x>y\)，那么可以直接从大到小排，证明显然。

对于一段区间，设该区间的最大值为 \(M\)，最小值为 \(m\)，那么该区间的代价是：

\[|L_i-m|+M-m+|R_i-M| \]

（其中 \(L_i\) 和 \(R_i\) 是这段区间左右固定的数的值）

那么我们现在的任务就是分配每一段的最小值和最大值。

结论：对于两段编号为 \(i,j\) 的区间，这两段区间的值域要么完全包含，要么没有相交。

直接反证是比较简单的。

那么我们就可以设计状态，设 \(f_{l,r,s}\) 表示当前值域区间为 \([l,r]\)，已经固定了的区间集合为 \(s\)，那么有转移：

1. 没有值域恰好为 \([l,r]\) 的区间：\(f_{l,r,s}=\min{f_{l+1,r,s},f_{l,r-1,s}}\)

2. 将两段拼起来，设 \(len_i\) 集合为 \(i\) 的段的长度和，有：\(f_{l,r,s}=\min{f_{l,l+len_T-1,T}+f_{l+len_T,r,s-T}}\)。

3. 正好有 \([l,r]\) 的区间：\(f_{l,r,s}=\min{f_{l+1,r-1,s-{x}}+Calc_x{l,r}}\)，其中 \(Calc_x{l,r}\) 是第 \(x\) 段值域为 \([l,r]\) 时的代价。

这样时间复杂度是 \(\operatorname{O}(3^kn^2)\) 的，瓶颈在第二个转移。

咕咕咕