例题1.3 整数划分问题

题目

求正整数n的不同划分个数。

例如，正整数6有如下11中不同的划分：6；5+1；4+2；4+1+1；3+3；3+2+1；3+1+1+1；2+2+2；2+2+1+1；2+1+1+1+1；1+1+1+1+1+1.

思路

如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数计记作q(n;m). 可以建立q(n;m)的如下递归关系：

q(n,m)={

　　1　　　　n==1,m==1

　　q(n,n)　　n<m

　　1+q(n,n-1)　　n==m

　　q(n,m-1)+q(n-m,m)　　　　n>m>1

}

正整数n的划分由最大加数n1==n的划分和最大加数n1<=n-1的划分组成。

正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1<=m-1的划分组成。

代码

function q(n,m){
    if(n<1||m<1){
        return 0
    }
    if(n==1||m==1){
        return 1
    }
    if(n<m){
        return q(n,n)
    }
    if(n==m){
        return q(n,m-1)+1
    }
    return q(n,m-1)+q(n-m,m)
}
console.log(q(6,6))