费马小定理和伪质数

费马小定理：

如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）

 

证明一个数字是质数：

如果r为质数，则对于所有的整数 1 <= z <= r-1 ，z^(r-1) ≡1（mod r）

也就是说，如果存在z使得z^(r-1) !≡1（mod r）,则r是合数

存在两种这样的z：

1. trivial fermat witness: gcd(z，r)>1，即z是r的一个因数，如果这样的z存在，我们已经不用去做fermat test，因为z已经可以整除r，所以称为trivial。

2. non-trivial fermat witness: gcd(z，r)=1，z，r互质。如果一个合数没有non-trivial fermat witness，则称为卡迈克尔数（pseudo prime/Carmichael numbers）。561是最小的卡迈克尔数。

　　卡迈克尔数的存在说明了：满足费马小定理的也不一定是质数。满足费马小定理是成为质数的必要不充分条件。

 

伪质数的定义：

对自然数x和一个与其互素的自然数a，如果x整除 a^x-1 - 1，则称x是一个以a为底的费马伪素数或者关于a的费马伪素数。

341是最小的伪质数。 （关于2，即2^340 ≡ 1 mod 341）

卡迈克尔数是伪质数的一个极端情况。