树状数组学习笔记

今天学习了一下树状数组，觉得它是一个很不错的数据结构。
(以下内容均引用自网络上的无名氏课件.)
首先我们得知道一个问题,那就是线段树得作用并不只是用来存储线段的,也可以存储点的值等等.
对于静态的线段树,空间上需要的数组有:当前结点的数据值,左儿子编号,右儿子编号.
而在时间上虽然是NlogN的复杂度,但是系数很大.
实现起来的时候编程复杂度大,空间复杂度大,时间效率也不是很理想.

先看一个例题:
数列操作:
给定一个初始值都为0的序列,动态地修改一些位置上的数字,加上一个数,减去一个数,或者乘上一个数,然后动态地提出问题,问题的形式是求出一段数字的和.

若要维护的序列范围是0..5,先构造下面的一棵线段树:

可以看出,这棵树的构造用二分便可以实现.复杂度是2*N.
每个结点用数组a来表示该结点所表示范围内的数据之和.
修改一个位置上数字的值,就是修改一个叶子结点的值,而当程序由叶子结点返回根节点的同时顺便修改掉路径上的结点的a数组的值.
对于询问的回答,可以直接查找i..j范围内的值,遇到分叉时就兵分两路,最后在合起来.也可以先找出0..i-1的值和0..j的值,两个值减一减就行了.后者的实际操作次数比前者小一些.
这样修改与维护的复杂度是logN.询问的复杂度也是logN,对于M次询问,复杂度是MlogN.
然而不难发现,线段树的编程复杂度大,空间复杂度大,时间效率也不高.

更好的解决办法就是用树状数组!

下图中的C数组就是树状数组,a数组是原数组

对于序列a，我们设一个数组C定义C[i] = a[i-2^k+1] + a[i-2^k+2] + … + a[i]，k为i在二进制下末尾0的个数。
2^k的计算可以这样:2^k = i & (i^(i-1))

inline int Lowbit(int x){
       // 求x最低位1的权
       return x & (x^(x-1));
}
定义C[i] = a[i-2^k+1]+a[i-2^k+2]+...+a[i];
若要修改 a[k]的值，则C数组的修改过程如下：(n为C数组的大小)
void Change(int k, int delta){
       while( k<=n ){
              C[k] += delta;
              k += LowBit(k);
       }
}

求a中1..k元素的和
int Getsum(int k){
       int ret = 0;
       while( k>0 ){
              ret += C[k];
              k -= Lowbit(k);
       }
       return ret;
}

若要求i..j的元素和的值，则求出 1~i-1和1~j的值，相减即可

在很多的情况下,线段树都可以用树状数组实现.凡是能用树状数组的一定能用线段树.当题目不满足减法原则的时候,就只能用线段树,不能用树状数组.例如数列操作如果让我们求出一段数字中最大或者最小的数字,就不能用树状数组了.

注：用数组保存静态一维线段数也可以不记录左右孩子的下标
如0号是根节点，其孩子是1、2；
1号的孩子是3、4；
2号的孩子是5、6；
3号的孩子是7、8；
……
n号的孩子是2*n+1、2*n+2。
这是二叉树的性质。