KMP 回炉重造
前言
模拟赛的时候 T2 正解要用 KMP，然而本咕在学长讲 KMP 时没有认真听…… （STO @int_R 学长）
来 回炉重造 复习了。
引入
我们经常会遇上诸如这一类题：
现在给定一个字符串 \(S\)，判断字符串 \(P\) 是否是字符串 \(S\) 的一个子串。我们可以称 \(P\) 为模板串，\(S\) 为文本串。
好的先打超级大暴力！
暴力做法
直接遍历每一个起点，检查是否能匹配模板串。
Code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s,p;
int main(){
cin>>s>>p;
for(int i=0; i+p.size()-1<s.size(); i++){
if(s.substr(i,p.size())==p) exit(puts("Yes")*0);
}
else cout<<"No";
return 0;
}
由于 string 的内置 substr 函数也是 \(\mathcal{O}(n)\) 的复杂度，因此这种做法就是稳定的 \(\mathcal{O}(nm)\) 的，其中，\(n\) 表示文本串长度，\(m\) 表示模板串长度。
显然只要字符串长度略大一点就会直接炸掉呢……
然后我们还有一种看起来不那么暴力的暴力：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s,p;
int main(){
cin>>s>>p;
int n=s.size(), m=p.size();
int i=0,j=0;
while(i<n && j<m){
if(s[i]==p[j]) i++,j++;//匹配上了，同时后移
else{
i-=j-1;
j=0;//没匹配上，之前的都要重新算
}
}
cout<<i-j<<endl;
return 0;
}
实际上没有什么区别，复杂度都是 \(\mathcal{O}(nm)\) 的。
然后就有人发明了 KMP 算法！
正文
首先还是这个问题，我们能优化显然是因为暴力有能优化的地方。 废话
所以到底是哪里出了问题才导致这个暴力如此 TLE 呢？
我们考虑极端情况：
S="010101010100";
P="0100";
那么按照上面的程序，我们就会让模板串每次右移一个字符找匹配，然后发现只有到了最后一个字符才会出现不匹配，这样的话前面的所有匹配就要全部扔掉……
但是实际上前面这些已经匹配上的 0 实际上还是有用的，我们不应该直接扔掉啊，
要是能有什么办法把那些还能用的已匹配字符存下来就好了……
思路
很好你已经找到 KMP 的大致方向了！我们就是要找一个指针 \(next_j\) 使得在模板串上某一位置 \(j\) 匹配失败时，应该回退到哪一个合法匹配位置，使得能够充分利用之前已经匹配上的值。
怎么理解呢？我们考虑上面那个例子：
咕咕咕，十分生动形象的例子呢！
等会我要说啥来着
然后我们该怎么算 \(next_j\) 捏……
关于 \(next\)
在算 \(next\) 指针之前，先来认真想一想他的本质是什么。什么情况下我们会用到 \(next\) 指针？以及它让我们干了什么？
事实上，由于之前的文本串的某一段已经完美匹配模板串 \([0,j)\) 了，那么也就是说 这一段和模板串一模一样，也就可以当做模板串。
要把前面已经匹配上的区间再次利用，那么这一段就必须 和之前匹配上的 后面的一部分匹配。以上图为例，我们在第四位 \(0\) 失配后，应该跳转到 \(next_j=1\) 表示由第四位失配后直接可以沿用 \(\left[0,1 \right)\)，再在第一位的后面继续接。
换句话说，现在已经匹配到第 \(j\) 位且第一次失配，那么显然前 \([0,j-1)\) 是已经完美匹配的了。但是第 \(j\) 位失配了，所以现在要把模板串右移一些，让之前的 \([0,next_j)\) 重新匹配上 \([j-next_j,j)\)。
于是，问题就变成了：
在模板串的一段区间 \([0,j)\) 内，找到一段区间的 真前缀 \([0,next_j)\)，使得它与这段区间的 真后缀 \([j-next_j,j)\) 完全相同，而且尽可能长。
也许不是很好理解？我们还是以图为例：
好懂多了吧
然后这个 \(next\) 要肿么求嘞……
是啊怎么求啊
求 \(nexy\) 指针
首先我们钦定我们已经知道前 \([0,k)\) 位的 \(next\) 指针了，现在要求 \(next_j\)。
那么一共两种情况：
- \(P_k=P_{next_k+1}\)，也即这一位能够直接接在上一位后面且仍然满足要求。显然直接接上就行。
- \(P_k\ne P_{next_k+1}\)，不能直接接上，这时候怎么办？
对于第二种情况，考虑现在已有了 \(k-1\) 位的最长前后同缀，那么现在我们希望 这个 前后同缀 的 一段后缀 和 他的一段前缀仍然完全相同，试试在这个 前后同缀 的 前后同缀 后面接上第 \(k\) 位。
哦啊，套娃好难懂，怎么理解呢？依旧上图：
啊啊啊画图好累
总结
很好，看到这我钦定你已经会求 \(next\) 了（？那么现在你可以自己 发明 写出 KMP 了！
来回顾一下：
- 第一步，求出模板串所有位置的 \(next\) 指针；
- 第二步，依次遍历文本串每一位寻找匹配。
- 第三步，若不匹配，无需回退文本串，将模板串右移使得 \(next_j\) 与现在的 \(j\) 对其即可。
- 依次遍历求解。
完结~
时间复杂度
分析一下时间复杂度：
- 我们会从左至右遍历模板串，\(\mathcal{O}(m)\) 预处理出每一个 \(next\) 指针；
- 然后从右向左遍历一遍文本串，无需回退和重载，直接算，\(\mathcal{O}(n)\)；
总复杂度 \(\mathcal{O}(n+m)\)，十分优秀！
Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+7;
string s,p;
int nxt[N];
void build(){
int len=s.size();
int i=0,j=-1;
nxt[0]=-1;//小细节：处理归零匹配
while(i<len){
if(j<0 || p[j]==p[j]){
i++,j++;//匹配上了
nxt[i]=j;
}
else j=nxt[j];//沿着 next 找
}
}
int main(){
cin>>s>>p;
build();
int i=0, j=0;
int len=s.size(), lenp=p.size();
while(i<len && j<lenp){
if(j==-1 || s[i]==p[j]) i++,j++;
else j=nxt[j];
}//比较
if(j<lenp) cout<<"NO";
else cout<<"YES";
return 0;
}
引用
参考资料：
推荐习题：
画图真的很累的求求你给一个推荐叭……
浙公网安备 33010602011771号