Splay学习笔记

引入

你说的对，FHQ的确是一种极其强悍的平衡树模型，但是$Splay$比它码量小，~~就是不能分裂合并还不能可持久化~~，而且大家都在用，根据存在即合理论证法 ~~(以及在huge的强制下)~~,我们应该学习$Splay$平衡树。

~~椰树椰汁~~ Splay平衡树，我从小旋到大，品质有保障 (2333

简介

$Splay$树最早由 Daniel Sleator 和 Robert Tarjan ~~(又是您老)~~ 于 1985 年发明．~~(WHO CARE?)~~，也叫做 伸展树，其核心在于 $Splay$伸展操作。 $^{[1]}$

[1] 转自OI wiki

什么是伸展操作呢？

其实不难理解，就是将指定的一个节点向上伸，使其变成新根节点,再把它原来的父亲和子树展开重新适配，以此维护或构造一个 二叉搜索树(或称二叉排序树)的结构，简称 伸展树 。~~伸搜(bush~~

那怎么伸展捏？

最难的部分来力，~~坏了cao2333不会~~

伸展/旋转

下文可能会用到的变量及其含义

$child[rt][0/1]$ 表示rt节点的左(0)右(1)儿子；

$tree[rt]$ 是结构体数组，存储整个树，包含:

fa 表示 rt 节点的父亲；

size 表示以该节点为根的子树的节点数

val 表示该节点存储的数值

cnt 表示该节点出现的次数（频次）

$rt$ 表示当前遍历根节点

$root$ 表示整颗树的总根

对于一个点，我们可以将其左旋或右旋，使其成为新的根节点，这样每次访问的时候就会把这个点给提上来，防止查找次数过多或树退化成链。但是要怎么选择旋转方式以及按什么顺序非常重要.
对此，我们可以 分类讨论 :

关于旋转

旋转是Splay操作的核心。整个伸展Splay实际上就是一组旋转。
观察下图

也就是说，用 $child[rt][0/1]$ 代表 rt 的左/右儿子：

如果此节点是 $rt=child[fa][0/1]$, 则旋转后节点一定有 $child[rt][1/0]=fa$.
可以将$|x==y|$作为条件表达式的真假(0/1),那么
- $child \Big[rt \Big] \; \Big[\;| child[fa][0]==rt |\;\Big]=fa.$

看着是不是有点晕？很遗憾，这已经是旋转最简形式了，没有更简单的表示方法。当然，#define 是个好东西，在代码实现时也可以直接用宏定义替换来解决美观度问题，代价是别人可能看不大懂你的代码...qwq

关于伸展

很显然，对于上面那个图，如果我们单独把4旋上去，4就会有整整三个儿子，这显然是不合法的，那么我们应该如何将4的所有属性以及子树变的满足二叉树的性质呢？这就是 $Splay$伸展操作.
仍然分类讨论，以左旋为例，还是这个图，发现：

衡好，右旋大家可以自己推一推，就是把上面右边的树转回左边的树。
我们由此又得出了一组简洁的柿子：
- 在左旋时：$child[fa][1]=child[rt][0]$
- 在右旋时：$child[fa][0]=child[rt][1]$
这时候就有一些喜欢压行的~~劳什子~~神犇们要说了：我不想写 if else,有没有和上面一样的整式子？
答案当然是————~~你压行干嘛~~ 有的兄弟，有的，~~就是比上面那个还丑~~
- $child \Big[fa \Big] \Big[|\;child[fa][1]==rt\;| \Big]=child \Big[ rt\Big]\Big[|\;child[fa][0]==rt\;|\Big].$

让大家感受一下这个式子有多臭————它的$\KaTeX$代码:

$child \Big[fa \Big] \Big[|\;child[fa][1]==rt\;| \Big]=child \Big[ rt\Big]\Big[|\;child[fa][0]==rt\;|\Big].$
它的实现也很shit，就，大家可以选择压行还是正常写（虽然压行码量小就是了）

附赠一个忘记从哪里看到的口诀：右子左旋父变左，左子右旋父变右；左旋原来左子右，右旋同理托给爹

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void rotate(int rt){
    int fa=tree[rt].fa;     //亲跌Father
    int gdfa=tree[fa].fa;   //祖父GrandFather;
    bool k=(child[fa][1]==rt);//此处判定rt是否为右子树,1真0假,可以推出1左旋0右旋。
    
    //更改祖父节点与本节点的关系，一定要记住是双向的(不然另一边不认亲的)
    child[gdfa][child[gdfa][1]==fa]=rt;
    tree[rt].fa=gdfa;
    //把自己的某个子节点换到父节点上(托孤(bush)
    child[fa][k]=child[rt][!k];
    tree[child[rt][k]].fa=fa;
    //直接把本节点变成父节点，右节点左旋(1)左子(0)为父，左节点右旋(0)右子(1)为父
    child[rt][!k]=fa;
    tree[fa].fa=rt;
}

操作过程

由于篇幅过长，~~而且我也没看懂~~，为什么要做这么操作 的证明只有我们学长会证
而且cao2333这个蒟蒻实在太弱了，至今也不敢保证我的思路没问题，在这里仅仅提供我自己的理解
大部分的图都是从学长和 OI wiki 那里顺的，如有冒犯还请见谅

咕咕咕（我是分鸽符）

首先，我们需要注意到：如果我们把一个节点旋到指定的一个地方，也就是让他 取代某个父节点(这个父节点称为目标)，其实在最后不好判断有没有旋完.(如果你旋到那个目标了，那个目标就变成了儿子，那这时候是旋完了还是没完呢？)
我们可以借鉴一下隔壁物理组的思想 ~~（其实并不隔壁）~~，选一个 相对静止 的节点作为参照系。这里最方便的就是目标的跌(节点自己的某个爷爷,下称 目标根 )————当节点旋到成为他爷爷(目标根)的直接儿子时，我们认为他已经旋到原来目标的位置了 ~~(您家辈分着实有点乱啊)~~

于是我们有三种不同情况：

zig

当自己的爷爷就是目标根时，直接和自己的跌（目标）旋一下

zig-zig

当自己的爷爷不是目标根，而且 自己和爹的关系 与 爹和爷爷的关系 相同时（一般称三者在一条直链上），可以让父节点先和目标根旋一下（顺便把自己拉上去），再把自己旋上去。

注意：此图中的节点（尤其是子节点）不一定是纯粹的单个节点，可能是某个子树的集合，因此请勿产生 “我这么旋不是更方便吗” 的~~跟我一样的叛逆~~想法，若是在不理解可以试一试手模一下，看一看会不会使树平衡，手模更方便理解

如果你试过直接一步一步旋，你可能会发现 树中途拧成了一个麻花 ，这会使树更加复杂，应该避免。

zig-zag

如果节点向上遇到这种"麻花"型，我们可以直接一步一步跳，顺便也把麻花捋成正常的了
注意，这里旋转的目标已经和上一种完全不一样了，不能并论

这就是所有的旋转操作。此时就又有懒惰聪明的小朋友要问了：
- 啊蒟蒻蒟蒻，你这样好麻烦啊，我还得照顾他的爹和爷爷，难道只能写 if else吗？
~~其实就是你又双叒叕想压行了吧~~
实则不然。对于这三种 ~~恶心人~~ 讨人喜的情况，我们用一种同样讨人喜的方式写就可以,但我还是推荐大家直接写if else版本，因为压行实在是太shit了!!!

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void Splay(int rt, int to){
    int fa=tree[rt].fa;
    int gdfa=tree[fa].fa;   //同上
    int k=!( (child[gdfa][0]==fa)^(child[fa][0]==rt) );//判断是否在一条链上
    //这里k的取值回顾^异或的用法:同0异1

    if(gdfa==to) rotate(rt); //Zig,直接旋
    else if(k){         //Zig-Zig,
        rotate(fa);     //先旋父节点
        rotate(rt);     //再把自己旋上去
    }
    else{               //Zig-Zag
        rotate(rt);     //直接一步一步旋
        rotate(rt);
    }
    //压行版本,请 不要 与上面那种连用
        if (gdfa!=to) k ? Rotate(fa) : Rotate(rt);
        rotate(x);
}

本段鸣谢

学长Superlollipop

学长msjing

OI wiki

zig&zag趣谈

    在一家大公司里(一棵树上)，一些职员节点不满于老板（根节点）的暴政以及不平衡行为，打算取代老板（成为新的根），重振平衡树荣光。
    但是公司有一些奇怪的规定：
        1.一个节点最多有两个直接下属（儿子），要求其左下属（左儿子）的能力（值）比他低，右下属（右儿子）能力比他高；（二叉树性质）
        2.在一个节点受到提拔时，他的所有下属节点也会一并提拔，相当于提拔了整个部门；（同理）
        3.想要成为老板，就必须靠升职使得自己的地位比老板还高；    （使根节点变成自己的子节点）
        4.[神犇]（毒瘤测试点）在访问某个节点时，必须按照公司规定，从老板一级一级向下寻找节点 （二叉搜索树顺序）
        5.老板实际上是某个[空节点]（节点0）的下属，他们之间没有任何左右关系，或者说[空节点]的左右下属都是老板。
    这无疑是为了激发公司活力。节点们十分高兴，都想最早被[神犇]访问，于是开始了他们的平衡之路——
    一个卑微的A结点（任意节点）也有他的想法，他曾经被[神犇]专门访问过（被查询/修改过），为了防止[神犇]的下一次到访因为路太远（树退化成链）而脸色发黑（TLE），于是他决定也要超越自我，成为新老板。
    首先，公司里的一些员工和他们的下属关系十分相似，有一些左下属形成了左下属的链，链上的节点都是其父节点的左下属；右下属们也同理。（Zig-Zig类型）A结点发现这种情况下，链上节点们因为平时上下级关系相似好处理，都很好说话：只要你和你的上司聊一聊，他就会考虑晋升自己并且根据2.把你也提拔上去。显然这种只需要把问题都甩给上司的方法对于A结点要省事得多。于是A结点凭借高超的卖萌技艺(awa)成功晋升到链的顶端.
    但是并不是所有节点都能和自己的上下级打好关系。有些节点处于一种尴尬的境地：他是上司的左下属，但是A结点是他的右下属（Zig-Zag类型）。这种情况节点由于不喜欢和自己属性不一样的节点会拒绝A节点的请求（其实就是不好旋）。但是A结点是有一定实力的，他可以直接用强硬手段把自己晋升为上司，直接自己处理新上司之间的关系。
    凭借这种方法，A结点已经晋升到了老板的下属。自己想要变成[空节点]的下属，但是[空节点]没有左右下属，他的老套路失效了（Zig类型）。
    聪明的A节点发现这时候完全可以不管[空节点]，反正他坐那里不动，直接把老板踹下去就行了（直接旋）
    于是A结点成为了新的老板，同时有一些新的节点也要进入公司（新加入节点），由于A节点实在太累了就让新节点自己找位置，但是这可能会使树变得不平衡，此时就会有新的B节点要来取代A节点变成老板（其他平衡splay操作），但那显然不是A节点要操心的事了，A现在只想睡觉得到AC 100pts！！

Emm，其实你已经学完Splay了 O_o
真的，$Splay$一点都不难,码量还小并非，只是...
~~特性和它推式子一样臭~~

咕咕咕

其他的操作怎么写？其实几乎和FHQ一模一样，直接把查询节点旋到根节点直接查就行
咕咕咕，完整代码就不写了，网上的Splay真是一个人一个写法，根本就统一不了，所以此处省略以免误导读者大大

时间复杂度

$O((n+m)log\;n)$
证明我不会,
就...你还是看 $OI\;wiki$ 叭

注意事项

$Splay$是$LCT$ ($Link \; Cut \; Tree$)的基础，个人认为在非必要条件下还是无旋Treap-FHQ 更通用一些
$Splay$不支持分裂合并操作，不支持可持久化，且时间复杂度常数远大于FHQ.
$Splay$码量小，出错好找，大部分Coder都应该学习-------huge

例题

咕

$\color{red} 彩 \color{blue}蛋$

论我为什么不把这几篇文章$(treap,Splay,FHQ)$归到一个文章里，因为这几个全都太难了！~~cao2333学不会啊(雾~~
无奖竞猜：cao2333在这篇文章里放了几只"咕"？

posted @ 2026-07-15 14:49 听凭风引adj 阅读(9) 评论(0) 收藏举报

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什么是伸展操作呢？

那怎么伸展捏？

伸展/旋转

关于旋转

关于伸展

操作过程

zig

zig-zig

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时间复杂度

注意事项

例题

公告

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那怎么伸展捏？

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