P1516 青蛙的约会 题解

P1516 青蛙的约会 题解

题目描述

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 A 和青蛙 B，并且规定纬度线上东经 \(0\) 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 \(1\) 米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙 A 的出发点坐标是 \(x\)，青蛙 B 的出发点坐标是 \(y\)。青蛙 A 一次能跳 \(m\) 米，青蛙 B 一次能跳 \(n\) 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长 \(L\) 米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入格式

输入只包括一行五个整数 \(x,y,m,n,L\)。

输出格式

输出碰面所需要的次数，如果永远不可能碰面则输出一行一个字符串 Impossible。

说明/提示

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le x, y, m, n \le 2 \times 10^9\)，\(x \ne y\)，\(1 \le L \le 2.1 \times 10^9\)。

题目分析

其实不难,本蒟蒻都能n遍过

这是一道极其经典的数论题

我们要求一个时间值，让这两只青蛙相遇废话

我们把题面用数学语言表示一下：

求一个正整数 t ，使得

\[x+t \times m \equiv y+t \times n \space(mod \space L) \]

我们将其 稍微 (确信) 变一下形，得到

\[x+t \times m - y-t \times n \space (mod \space L) \space= 0 \]

也就是说，存在$ z \in \mathbb{Z}$使得

\[(x-y)+t \times (m-n)=z \times L \]

继续变形，有

\[t \times(m-n) - z \times L=y-x \]

\[t \times(n-m) + z \times L=x-y \]

噫嘘兮，这长得也太像 拓展欧几里得公式了 到底哪里像了

\(\tt \scriptsize \sout {以防你没见过拓展欧几里得等式}\)

\[ax+by=gcd(a,b) \]

m-n和y-x是定值，当且仅当y-x是\(gcd(m-n,L)\)的倍数时该方程有正整数解————特判即可

然后我们把直接代入求解就欧克了...

完结撒花！\ (^ V^)/

..吗?

---

wait a minute, 我按你写的怎么告诉我答案是负的?

莫慌莫慌，这个是直接求的特定解，不是正整数解。

我们知道拓展欧几里得等式知道特定解是能够求通解的，那我们怎样求正整数解捏？

...

我也不会

总之推导过程实在是太长了，此处懒得写略

可以看看 这位大佬的证明

然后就能用下面的柿子就可以求正解哩

//by: luogu1717406
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(b==0){x=1,y=0;return a;}
    int ans=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return ans;
}
int a,b,n,m,L;
signed main(){
    cin>>a>>b>>n>>m>>L;
    int x,y;
    int ans=exgcd(n-m,L,x,y);
    if((b-a)%ans!=0){
        cout<<"Impossible\n";
        return 0;
    }
    x*=(b-a)/ans;
    int k=abs(L/ans);
    cout<<(x%k+k)%k<<endl;
    return 0;
}

真 · 完结撒花✿ヽ(^ ▽^)ノ✿✿

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不温馨提示：
十年OI一场空，_ _ _ _ _ _ _

不开long long见祖宗啊家人QAQ

by: cao2333