[单纯形法与线性规划]【学习笔记】
很早以前学过理论，3个月前又学了一遍写了一点笔记，现在觉得以（已）前（经）写（完）的（全）太（忘）丑（记）于是重写一遍
参考资料：
1.算法导论
2.2016国家集训队论文
标准型
$Maximize\quad \sum\limits_{j=1}^{n} c_jx_j$
$Satisfy\quad constraint:$
$\sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \le b_i,\ i=1,2,...,m$
$x_j \ge 0,\ j=1,2,...,n$
$n$个变量，$m+n$个约束
构造$m*n$的矩阵$A$，$m$维向量$b$，$n$维向量$c$
$Maximize\quad c^Tx$
$Satisfy\quad constraint:$
$Ax \le b$
$x \ge 0$
转化为标准型:
松弛型
松弛变量$x_{n+i}$
$ \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \le b_i\ \rightarrow\ $$x_{n+i}=b_i - \sum\limits_{j=1}^{n} a_{ij}x_j,\ x_{n+i} \ge 0$
等式左侧为基本变量，右侧为非基本变量
单纯型算法
每个约束定义了$n$维空间中的一个半空间(超平面)，交集形成的可行域是一个凸区域称为单纯型
目标函数是一个超平面，最优解在凸区域定点处取得
基本解：非基本变量值为$0$，基本变量为右侧的常数
基本可行解：所有$b_i \ge 0$
通过不断的转轴操作，在$n$维凸区域的顶点上不断移动(转轴)，使得基本解的目标值不断变大，最终达到最优解
转轴：
选取一个非基本变量$x_e$为替入变量，基本变量$x_l$为替出变量，将其互换
为了防止循环，根据$Bland$规则，选择下标最小的变量
初始化：
算法导论上有一个辅助线性规划的做法
但我发现好多人都用了随机初始化的黑科技
在所有$b_i < 0$的约束中随机选一个作为$x_l$，再随机选一个$a_{le} < 0$的作为$x_e$，然后$Pivot(l,e)$后$b_i$就变正了...
代码实现：
直接用一个$a[][]$来保存目标函数和约束
$Pivot$里的各种操作推导一下很清楚，用了两个$trick$避免了一些判断
$id$用来保存基本变量和非基本变量集合
针对全幺模矩阵可以进行提取非零系数的优化
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const int N=25; const double eps=1e-8,INF=1e15; inline int read(){ char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();} while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();} return x*f; } int n,m,type; double a[N][N],ans[N]; int id[N<<1]; int q[N]; void Pivot(int l,int e){ swap(id[n+l],id[e]); double t=a[l][e]; a[l][e]=1; for(int j=0;j<=n;j++) a[l][j]/=t; for(int i=0;i<=m;i++) if(i!=l && abs(a[i][e])>eps){ t=a[i][e]; a[i][e]=0; for(int j=0;j<=n;j++) a[i][j]-=a[l][j]*t; } } bool init(){ while(true){ int e=0,l=0; for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][0]<-eps && (!l||(rand()&1))) l=i; if(!l) break; for(int j=1;j<=n;j++) if(a[l][j]<-eps && (!e||(rand()&1))) e=j; if(!e) {puts("Infeasible");return false;} Pivot(l,e); } return true; } bool simplex(){ while(true){ int l=0,e=0; double mn=INF; for(int j=1;j<=n;j++) if(a[0][j]>eps) {e=j;break;} if(!e) break; for(int i=1;i<=m;i++) if(a[i][e]>eps && a[i][0]/a[i][e]<mn) mn=a[i][0]/a[i][e],l=i; if(!l) {puts("Unbounded");return false;} Pivot(l,e); } return true; } int main(){ freopen("in","r",stdin); srand(317); n=read();m=read();type=read(); for(int i=1;i<=n;i++) a[0][i]=read(); for(int i=1;i<=m;i++){ for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=read(); a[i][0]=read(); } for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=i; if(init() && simplex()){ printf("%.8lf\n",-a[0][0]); if(type){ for(int i=1;i<=m;i++) ans[id[n+i]]=a[i][0]; for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.8lf ",ans[i]); } } }
问题转化为单纯型：
最短路
最大流
最小费用最大流
多商品流(目前没写过)
对偶性：
${Max\ c^Tx\ :\ Ax \le b,\ x \ge 0}\ \quad {Min b^Ty\ :\ A^Ty \ge c,\ t \ge 0}$
最大化与最小化互换，常数与目标函数互换，改变不等号，变量与约束对应
最大流与最小割
二分图最大权匹配与最小顶标和
最小顶标和：一个带权二分图，两个顶点的顶标之和不小于连接它们的边的边权，求最小顶标和
所有边权为$1$，就是最大匹配和最小点覆盖
$d_{uv}$表示$u,v$是否匹配
$Max\quad \sum\limits_{(u,v)\in E}c_{uv}d_{uv}$
$Sat$
$\sum\limits_{v \in Y}d_{uv} \le 1 \quad \quad u \in X$
$\sum\limits_{u \in X}d_{uv} \le 1 \quad \quad v \in Y$
$d_{u,v}\in \{0,1\}$
令$p_u,p_v$为两类约束对偶之后的变量
$Min\quad \sum\limits_{u \in X}p_u + \sum\limits_{v \in Y}p_v$
$Sat$
$p_u+p_v \ge c_{uv} \quad \quad u \in X,v \in Y$
$p_u,p_v \ge 0$
全幺模矩阵(totally unimodular matrix)
充分条件：
1.仅有$-1,0,1$构成
2.每列至多两个非零数
3.行可分为两个集合：
一列包含两个同号非零数，两行不在同一个集合
一列包含两个异号非零数，两行在同一个集合
线性规划中$A$为全幺模矩阵，则单纯形法过程中所有系数$\in{-1,0,1}$
可以去除系数为$0$的项进行优化！
任何最大流、最小费用最大流的线性规划都是全幺模矩阵
