收集邮票 [概率]
收集邮票 [概率]
失踪人口回归系列2333
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当年学OI的时候还是在bzoj上做这道题,困扰了当时只会高中概率知识的我好长时间。
现在我学了概统了,可以吊锤这道题了!
设期望张数为\(X\),则答案为\(E(\frac{X+X^2}{2})=\frac{EX+EX^2}{2}\),需要计算\(EX\)和\(EX^2\)。
考虑已经有k-1种不同邮票,要买到第k种,就是有\(\frac{k-1}{n}\)的概率失败\(\frac{n-k+1}{n}\)的概率成功,是一个几何分布,所以可知\(X=X_1+X_2+…+X_n,\ X_k \sim G(\frac{n-k+1}{n})\)。
对于几何分布\(X\sim G(p)\),有\(EX=\frac{1}{p}, \ var(X)=\frac{1-p}{p^2}\)
所以,$$EX=E(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n EX_i = n\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$$
\[\begin{align*}
EX^2 & = E(\sum X_i^2 + \sum_{i \neq j}X_i X_j) \\
&= \sum EX_i^2 + \sum_{i \neq j}E(X_i X_j)\\
&= \sum var(X_i)+(EX_i)^2 + \sum_{i \neq j}(EX_i)(E X_j)\\
&= \sum_{k=1}^n (\frac{2n^2}{k^2}-\frac{n}{k})+\sum_{i\neq j}\frac{n^2}{ij} \\
\end{align*}
\]
(由于\(X_i, X_j, i\neq j\)独立,所以\(E(X_iX_j)=(EX_i)(EX_j)\)
所以,\(ans = n^2\sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n \frac{1}{ij}\),完成了!
代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
int main() {
cin >> n;
double ans = 0, t = 0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
t += 1.0/i;
ans += 1.0/i * t;
}
ans *= n*n;
printf("%.2f", ans);
}
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