收集邮票 [概率]

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失踪人口回归系列2333

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当年学OI的时候还是在bzoj上做这道题，困扰了当时只会高中概率知识的我好长时间。

现在我学了概统了，可以吊锤这道题了！

设期望张数为\(X​\)，则答案为\(E(\frac{X+X^2}{2})=\frac{EX+EX^2}{2}​\)，需要计算\(EX​\)和\(EX^2​\)。

考虑已经有k-1种不同邮票，要买到第k种，就是有\(\frac{k-1}{n}\)的概率失败\(\frac{n-k+1}{n}\)的概率成功，是一个几何分布，所以可知\(X=X_1+X_2+…+X_n,\ X_k \sim G(\frac{n-k+1}{n})\)。

对于几何分布\(X\sim G(p)\)，有\(EX=\frac{1}{p}, \ var(X)=\frac{1-p}{p^2}\)

所以，$$EX=E(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n EX_i = n\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$$

\[\begin{align*} EX^2 & = E(\sum X_i^2 + \sum_{i \neq j}X_i X_j) \\ &= \sum EX_i^2 + \sum_{i \neq j}E(X_i X_j)\\ &= \sum var(X_i)+(EX_i)^2 + \sum_{i \neq j}(EX_i)(E X_j)\\ &= \sum_{k=1}^n (\frac{2n^2}{k^2}-\frac{n}{k})+\sum_{i\neq j}\frac{n^2}{ij} \\ \end{align*} \]

（由于\(X_i, X_j, i\neq j​\)独立，所以\(E(X_iX_j)=(EX_i)(EX_j)​\)

所以，\(ans = n^2\sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n \frac{1}{ij}​\)，完成了！

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;
int main() {
    cin >> n;
    double ans = 0, t = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        t += 1.0/i;
        ans += 1.0/i * t;
    }
    ans *= n*n;
    printf("%.2f", ans);
}