2020.11.22 模拟赛1 题解

2020.11.12 模拟赛1 题解

T1 粉刷任务/task

题目描述
有\(n\)条木板，从上到下依次摆放，其中第\(i\)条木板的水平长度等于正整数\(A_i\)，高度等于\(1\)。这些木板按左端对齐，并且第i 条的下边界紧贴着第\(i+1\)条的上边界。
现在请你粉刷这\(n\)条的木板。你只有一个宽度为\(1\)的刷子，每次可以水平或者竖直地对连续的位置进行粉刷，但是刷子不能经过没有木板的位置。
现在允许同一个位置被多次粉刷。你希望通过最少的粉刷次数完成这\(n\)条木板的粉刷（即使得每块木板的每个位置都被刷到至少一次）。

这种情况下需要刷至少5下。
题解
全部横着刷最多需要\(n\)次，因此考虑用竖直刷来减少横着刷的次数。如果竖直刷，一定先考虑最左边的列。
如果一行被竖直操作完全覆盖，那就没有必要刷这一行了。
\(f[i][j]\)表示染前\(i\)行，还有\(j\)个竖直操作可以往下延伸的最少操作次数（因为如果中间有短的一行那可能就有无法延伸的数值操作。复杂度\(O(n^2)\)。
假设已经完成了\(f[i][j]\)的计算，考虑\(a[i+1]\)。

1. \(j<a[i+1]\)。即之前可以延伸的还没有完全能把这一行完全覆盖，因此后面的部分需要额外覆盖。可以使用一次横着或者全部竖直来覆盖这一部分。\(f[i+1][a[i+1]]=f[i][j]+a[i+1]-j,f[i+1][j]=f[i+1][j]+1\).
2. \(j=a[i+1]\)。那么就完全不需要额外覆盖，\(f[i+1][j]=f[i][j]\)。
3. \(j>a[i+1]\)。那么就是说这一行阻断了竖直方向的覆盖，所以\(f[i+1][a[i+1]]=f[i][j]\)。

T2

题目描述
你有\(n\)根火柴棍，并用它们摆出一个\(k\)位的正整数，且要求恰好把所有火柴棍都用完。这里\(k\ge1\)，且这个\(k\)位正整数不可以包含前导零。每个数字的形状如下图所示。

令\(x_1,x_2,\dots,x_m\)表示所有可以摆出的\(k\)位正整数。给定非负整数\(d\)，你需要输出：

\[\sum_{i=1}^{m}x_i^d\mod 10^9+7 \]

题解
\(f[i][j]\)表示\(i\)个火柴表示\(j\)位数的\(0\)次方和；
\(g[i][j]\)表示\(i\)个火柴表示\(j\)位数的\(1\)次方和；
\(h[i][j]\)表示\(i\)个火柴表示\(j\)位数的\(2\)次方和。
对于\(2\)次方和每次多加一位时，只需要用完全平方展开即可转移。
用dp可以简单地解决。为了防止爆空间，可以考虑用滚动数组。
同时要关注首位非0的问题。
记数字\(x\)需要的火柴数为\(d[x]\)，\(t[i]=(i==0)\)，则有转移方程：

\[\begin{aligned} f[i][j]&=\sum_{i\ge d[x]}{f[i-d[x]][j-1])}\\ g[i][j]&=\sum_{i\ge d[x]}{g[i-d[x]][j-1]+x\cdot t[j-1]\cdot f[i-d[x]][j-1]}\\ h[i][j]&=\sum_{i\ge d[x]}{h[i-d[x]][j-1]+2x\cdot g[i-d[x]][j-1]\cdot t[j-1]+}(x\cdot t[j-1])^2\cdot f[i-d[x]][j-1] \end{aligned} \]

拓展：使用二次项展开可以拓展到\(d\le10\)的情况。

T3

题目描述
有一个特殊的扑克游戏，算分规则是这样的：
• 先把\(n\)张牌放在桌上，每张牌编号\(1\sim n\)。每张牌都有两面，一面点数为\(A_i\)，另一面点数为\(B_i\)，一开始写着\(A_i\)的面作为正面朝上。
• 接下来依次进行\(K\)轮操作，每次把所有朝上面点数\(\le T_j\)的牌翻面。
• 所有操作完成后，计算所有牌朝上面点数之和\(Sum\)。
你需要输出最终的总分\(Sum\)。
题解
令较大的为\(b[i]\)，较小的为\(a[i]\)，即\(\forall i\in[1,n]\)，有\(a[i]\le b[i]\)。
对于一个\(T\)，讨论三个情况：

1. \(T<a[i]\)。无论是哪面朝上，都不会有任何影响。
2. \(T\ge b[i]\)。无论是哪面朝上，都会被翻转。
3. \(a[i]\le T< b[i]\)。如果原来是\(b[i]\)，不会被翻转；如果原来是\(a[i]\)，一定被翻转。因此可以理解为翻转成为\(b[i]\).
   因此，对于每张牌，找到最后一个第\(3\)类操作。然后从此往后寻找第\(2\)类操作的个数，如果是奇数次，则\(a[i]\)朝上；反之\(b[i]\)朝上。
   可以考虑整个解题过程为两个步骤：
4. 对每个\(i\)，找到\(max\{j\}\)，使得\(a[i]\le t[j]<b[i]\)。
5. 找到\(j'\)的个数，使得\(j'>j\)且\(t[j']\ge b[i]\)。
   因此可以把原题转换为普通的数据结构题。
   建立线段树\(S\)，对所有的\(t[j]\)，在\(t[j]\)的位置上插入\(j\)，每次在区间\([a[i],b[i]-1]\)上查找最大的\(j\)。这样就完成了第一步的查询。（也可以用ST表）
   等同于在平面直角坐标系中，对一个点，询问其右上角的点数有多少：二维偏序。
   只要离线做法，因此依次扫描并加入一个BIT中，当询问时即回答已经计入BIT（即在其上方）的、位置在询问点右边的个数。