算法第二章上机实验报告

1、实践题目名称

最大子列和问题

2、问题描述

给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

3、算法描述

将K个元素分为两部分，mid为中点，左边部分为（left，mid),右边部分为（mid+1,right)。递归求出这两部分的最大子列和。当算法涉及递归的时候，特别需要注意的是递归出口，在这里，递归的出口就是当只有一个元素的时候，若该值大于0,返回该值，小于等于0则返回0。而最大子列和可能出现的情况有三种，第一种在left到mid这个范围中，第二中在mid+1到right这个范围中，第三种就是跨界情况，假设范围为（i,j),其中i<=mid<=j，所以最大子列和取三者的最大值。

int MaxSum(int a[], int left, int right)
{
    if (left == right) 
    {
        if(a[left] < 0)
            return 0;
        return a[left];
    }

    int mid = (left+right)/2;  
    int lMax = MaxSum(a, left, mid);
    int rMax = MaxSum(a, mid+1, right);
    int sum = a[mid] + a[mid+1];
    int t = sum;
 
    for (int i = mid-1;i >= left; i--)
    {
        t += a[i];
        if (t > sum)
        {
            sum = t;
        }
    }
 
    t = sum;
    for (int i = mid+2; i <= right; i++) 
    {
         t += a[i];
        if (t > sum)
        {
            sum = t;
        }
    }
 
    if (lMax > sum) 
    {
        sum = lMax;
    }
 
    if (rMax > sum)
    {
        sum = rMax;
    }
    return sum;
}

 

4、算法时间及空间复杂度分析（要有分析过程）

拆分子数组分别求长度近乎一半的数组的最大子段和sum1, sum2，时间复杂度 2* T(n / 2)，从中心点往两边分别分别找到最大的和，找到跨越中心分界点的最大子段和sum3 时间复杂度 O(n)，那么总体时间复杂度是T(n) = 2 * T(n / 2) + O(n) = O(nlogn)。

因为需要用到数组n个元素，所以空间复杂度为O(n)。

5、心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

一开始做这道题的时候我不假思索地用了蛮力枚举法，但这方法耗时长，效率低，因此认真学习了分而治之法，学习到了二分法在提高效率上的重要性，并顺带复习了大一上学期学习的查找算法。在这过程中我最大的疑惑点是对跨中间界的解决，还需要多体会、理解和熟悉分而治之法的思路。