拯救世界2题解

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啊，拯救了一次世界后我们再拯救一次
发现这题的方案是和排列有关的，每种基因出现位置不同视为不同方案，所以使用指数生成函数
一看题面，发现和拯救一差不多，仍然让指数为使用个数，系数为答案，列出如下三个方程(注意是三个，一开始用两个推推了个寂寞(不过估计也就我这么傻))

\[\sum_{i}{\frac{x^i}{i!}}\\ \frac{x}{1!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+……=\sum_{i}{\frac{x^{2*i+1}}{(2*i+1)!}}\\ 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+……=\sum_{i}{\frac{x^{2*i}}{(2*i)!}}\\ \]

其中第一条和第二条可以将\(-x\)带入第三条相减或相加后获得，大家都会，不赘述了
先用奇怪公式化简一下

\[\sum_{i}{\frac{x^i}{i!}}=e^x \sum_{i}{\frac{x^{2*i+1}}{(2*i+1)!}}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ \sum_{i}{\frac{x^{2*i}}{(2*i)!}}=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \]

用乘法原理乘一下，由于那些基因各有\(4\)种，同样由乘法原理得要将这些柿子四次方

\[(e^x)^4*(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^4*(\frac{e^x-e^{-x}}{2})^4\\ \frac{1}{256}*(e^x*(e^x+e^{-x})*(e^x-e^{-x}))^4\\ \frac{1}{256}*(e^{3*x}-e^{-x})^4\\ \]

有趣的是，我们这次采用暴力化简，直接将四次方展开(

\[\frac{1}{256}*(e^{12*x}-4*e^{8*x}+6*e^{4*x}+e^{-4*x}-4) \]

对于每一项，用奇怪公式反过来推

\[\frac{1}{256}*(\sum{\frac{(12*x)^i}{i!}}-4*\sum{\frac{(8*x)^i}{i!}}+6*\sum{\frac{(4*x)^i}{i!}}+\sum{\frac{(-4*x)^i}{i!}}-4) \]

因为答案就是第\(n\)项的系数，所以代入\(n\)，取出系数

\[\frac{1}{256}*(\frac{12^n}{n!}-4*\frac{8^n}{n!}+6*\frac{4^n}{n!}+\frac{(-4)^n}{n!}) \]

因为是\(EGF\)最后乘上\(n!\)
就是

\[\frac{1}{256}*(12^n-4*8^n+6*4^n+(-4)^n)\\ 81*12^{n-4}-4*8^{n-2}+6*4^{n-4}+(-4)^{n-4} \]

那么这条柿子已经可以做了
但是由于题目恶臭，直接做是会\(T\)的，此时就需要扩展欧拉定理优化一下
科普一下笑
其实还有不少方法，大家用的都不一样啊

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=1e9,phi=4e8; 
ll n,m,ans,T;

inline ll ksm(ll x,ll k){
	ll tmp=1;
	while(k>0){
		if(k&1)tmp=tmp*x%mod;
		x=x*x%mod,k>>=1;
	}
	return tmp;
}

int main(){
	scanf("%lld",&n);
	while(n){
		ans=0;
		if(n<4)printf("0\n");
		else if(n<phi){
			ans=(81*ksm(12,n-4)%mod-ksm(8,n-2)+6*ksm(4,n-4)+ksm(-4,n-4)+mod)%mod;
			printf("%lld\n",ans);
		}
		else {
			ans=(ans+81*ksm(12,(n-4)%phi+phi)%mod)%mod;
			ans=(ans-ksm(8,(n-2)%phi+phi)+mod)%mod;
			ans=(ans+6*ksm(4,(n-4)%phi+phi)%mod)%mod;
			ll tmp=ksm(4,(n-4)%phi+phi);
			if((n-4)%2==1)ans=(ans-tmp+mod)%mod;
			else ans=(ans+tmp)%mod;
			printf("%lld\n",ans);
		}
		scanf("%lld",&n);
	}
}