中国地质大学（武汉）第十九届程序设计大赛 - B - 圣杯地牢

传送门

通过题意可以发现，每次操作就是在数组 \(a\) 中选择一个点，然后以它为起点进行区间加值操作 (注意是整个数组都会加，最终以当前点的前一个点结束)

判断是否可以通过一些操作使的从数组 \(a\) ,变为数组 \(b\)。

首先可以令 \(c_i = b_i - a_i\)，问题转换为是否可以通过 有限次操作，将数组 \([0,0,0, \dots , 0]\) 转化为数组 \(c\)

通过观察可以发现，每次操作对于数组的和的增量是固定的，即 \(\delta sum = \sum_{i=1}^{n}i = (n + 1) \times n / 2\)

那么首先可以进行一个判断， 即 \(\sum_{i=1}^{n} c_i \; \% \; (\delta sum) == 0\)， 令 \(cnt = \sum_{i=1}^{n} c_i \; / \; (\delta sum)\)

然后我们可以发现，每次操作对于起点来说，他的差分值的增量为 \(\delta d = (1-n)\) ，假设第 \(i\) 个点的操作次数为 \({opt}_i\)，那么 \(cnt\) 次操作之后，第 \(i\) 个点的差分值增量为 \(\delta d = (1-n) \times {opt}_i + (cnt - {opt}_i)\)

可得一个等式 \(\sum_{i=1}^{n} {opt}_i = cnt\)

假设数组 \(d\) 为数组 \(c\) 的差分数组

\[(1-n) \times {opt}_i + cnt - {opt}_i = d_i \]

\[cnt - n \times {opt}_i = d_i \]

\[{opt}_i = \frac{cnt - d_i}{n} \]

因此我们可以通过判断上述 \(n + 1\) 个式子是否有整数解即可。

// Problem: 圣杯地牢
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/35753/B
// Memory Limit: 262144 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include  <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

#define rep(i, a, b) for(int i(a); i <= b; i ++)
#define dec(i, a, b) for(int i(a); i >= b; i --)

#ifdef LOCAL
#include <debugger>
#else
#define debug(...) 42
#endif


template <typename T> inline void chkmax(T &x, T y) { x = max(x, y); }
template <typename T> inline void chkmin(T &x, T y) { x = min(x, y); }

constexpr int N = 100010;

ll a[N], b[N];
ll d[N];
ll sum;

void solve() {
  int n; cin >> n;
  rep(i, 1, n) cin >> a[i];
  rep(i, 1, n) cin >> b[i], b[i] -= a[i], sum += b[i];
  
  rep(i, 1, n) if(b[i] < 0) {
  	cout << "NO\n";
  	return ;
  }
  
  ll all = 1ll * n * (n + 1) / 2;
  if(sum % all || sum < all) {
  	cout << "NO\n";
  	return ;
  } 
  
	ll cnt = sum / all;
	
	rep(i, 1, n) {
		d[i] = b[i] - b[i - 1];
		if(i == 1) d[i] -= b[n];
		ll res = (1 - n) * (cnt - d[i]);
		if((cnt - d[i]) % n) {
			cout << "NO\n";
			return;
		}
		res /= n;
		res += cnt;
		ll res1 = (cnt - d[i]) / n;
		if(res - res1 != d[i]) {
			cout << "NO\n";
			return;
		}
	}
	
	cout << "YES\n";
  
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(false);
  cin.tie(nullptr);
  solve();

  return 0;
}
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