算法第二章实验报告

一、实践题目名称

二分法求函数的零点

二、问题描述

有函数：f(x)=x^5-15x^4+85x^3−225x^2+274x−121 已知f(1.5)>0,f(2.4)<0 且方程f(x)=0 在区间[1.5,2.4] 有且只有一个根，请用二分法求出该根。 提示：判断函数是否为0，使用表达式 fabs(f(x)) < 1e-7

三、算法描述

本题运用了分治算法中的二分法，主要体现在探求他的取值范围。

已知x=1.5时，f(x)>0,x=2.4时，f(x)<0，且方程的具体解在[1.5,2.4]的范围之间，那么这个函数在定义域[1.5,2.4]的范围内应为单调递减，所以在二分的时候，当f(x)>0时，将中值mid赋给右端的r赋给左端的l，当f(x)<0时相反。这题就是不断地取l，r的中值，进行查找比较，当找到符合使f(x)=0的值时停止，当在一遍查找结束后应将左端加上1e-7来缩小取值范围（或在右端减去），直到找到满足条件的值或l>r时退出循环，输出。

四、算法时间及空间复杂度分析

通过O(1)的操作，将规模为 n 的问题变成了 n/2 的问题。
即：T( n ) = T( n / 2 ) + O( 1 )

所以，T（n）=O（logn）

在整个二分搜索的过程中，一次的话只需要额外存储三个变量：start ，end 和 mid，也因此，空间复杂度是常量O( 1 ) ，但是n次下来，就是O（n）

 

五、心得体会

实践收获：学会了分治算法中的二分查找，利用题目详细深入地去探讨了整个过程，感觉学懂了，知道怎么去写，其实就是一直分一直分下去，缩小范围，向结果逼近，明白了什么条件下取左边地范围，什么条件下取右边的范围。

疑惑总结:二分查找写函数时，那个写不写return的问题，导致运行超时，后来发现都要写才能有返回值。

六、分治法的个人体会和思考

首先，分治法：将原问题划分成n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。分治模式在每一层递归上都有三个步骤：

分解：将原问题分解成一系列子问题；

解决：递归地解各个子问题。若子问题足够小，则直接求解；

合并：将子问题的结果合并成原问题的解。

分治法特征：

1、该问题可以被分割为一定规模后易于求解，并且可以分割为若干子问题；（分治法的基础）

2、子问题之间相互独立；

3、子问题解决后，合并起来可以得到原问题的解；
（对比动态规划，可以发现，二者十分相似，但是关键点又有不同）

总结：就是当一个问题能够被分解成很多小问题去解决的时候，就用分治法。