组合数学习笔记

基本都是抄的，只不过懒得到时候再去找而已，所以特地自己写一下，顺便加深理解

https://blog.csdn.net/litble/article/details/75913032

 

从$m$个数里取出$n$个数的方案数，记做$C_m ^n$，即为组合数

通项公式

　　$$C_m ^n=\frac{m!}{n!*(m-n)!}$$

　　从$m$个数里选出$n$个数，第一个位置有$m$种选法，第二个位置有$m-1$种选法……所以总共是$m*(m-1)*(m-2)...*(m-n+1)=\frac {m!}{(m-n)!}$

　　然而因为对顺序没有要求，所以假设取出了$n$个数，那么第一个位置有$n$种放法，第二个位置有$n-1$种放法...还要除以一个$n!$

　　综上所述就是$C_m ^n=\frac{m!}{n!*(m-n)!}$

组合数递推公式

　　$$C_m ^n=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-1}^{n}$$

　　从$m$个不同的数里取$n$个，如果第$n$个数取的话就是在剩下的数里取$n-1$个数，有$C_{m-1}^{n-1}$中取法，如果第$n$个数不取的话就是在剩下的数里取$n$个数，有$C_{m-1}^{n}$种取法

性质1

　　$$C_m^n=C_m^{m-n}$$

　　从$m$个数里选$n$个数留下的方案和从$m$个数里选$m-n$个数丢掉的方案显然是一一对应的

性质2

　　$$C_{m+r+1}^r=\sum _{i=0}^r C_{m+i}^i$$

　　首先，$C_m^0=C_{m+1}^0=1$（啥都不选的方案数肯定是1）

　　$C_m^0+C_{m+1}^1+C_{m+2}^2+...+C_{m+r}^r$

　　$=C_{m+1}^0+C_{m+1}^1+C_{m+2}^2+...+C_{m+r}^r$

　　$=C_{m+2}^1+C_{m+2}^2+...+C_{m+r}^r（根据递推公式）$

　　$=C_{m+3}^2+...+C_{m+r}^r$

　　$=C_{m+r+1}^r$

性质3

　　$$C_m^n*C_n^r=C_m^r*C_{m-r}^{n-r}$$

　　用通项公式

　　$C_m^n*C_n^r$

　　$=\frac{m!}{n!*(m-n)!}*\frac{n!}{r!*(n-r)!}$

　　$=\frac{m!}{r!*(m-r)!}*\frac{(m-r)!}{(m-n)!*(n-r)!}$

　　$=C_m^r*C_{m-r}^{n-r}$

性质4（二项式定理）

　　$$\sum_{i=0}^m C_m^i=2^m$$

　　显然$C_m^i$代表一个$m$位二进制数有$i$个$0$的情况下的数量，那么这个和就是$m$位二进制数的数量了

　　然后推广二项式定理$$\sum _{i=0}^m C_m^i*x^i=(x+1)^m$$

　　那么这个怎么证明嘞，我们可以考虑把$(x+1)^m$给变成$(x+1)*(x+1)...$的形式，然后考虑一下它展开后的多项式，比如说第$i$次方项，这$i$个$x$是从哪几个括号里取来的呢，很明显方案数是$C_m^i$，所以$x^i$的系数就是$C_m^i$

　　然后继续推$$\sum _{i=0}^m C_m^i*x^i*y^{m-i}=(x+y)^m$$

　　这个实际上和上面差不多的证明方法，变形成$(x+y)*(x+y)...$的形式，每一个位置都选$x$或$y$，那么$x^i*y^{m-i}$的$i$个$x$是哪里来的呢，然后就如上

性质5

　　$$C_m^0-C_m^1+C_m^2-...\pm C_m^m=0$$

　　以上式子可以写成$\sum _{i=0}^m C_m^i*(-1)^i$

　　带进性质4，$\sum _{i=0}^m C_m^i*(-1)^i*1^i=(-1+1)^m=0$

性质6

　　$$C_m^0+C_m^2+C_m^4+...=C_m^1+C_m^3+C_m^5+...=2^{n-1}$$

　　根据性质5，把所有$i$为奇数的项移到右边，可证$C_m^0+C_m^2+C_m^4+...=C_m^1+C_m^3+C_m^5+...$

　　然后又因为性质4的第一条，左右两边加起来等于$2^m$，所以两边都等于$2^{m-1}$

性质7

　$$C_{m+n}^r=C_m^0*C_n^r+C_m^1*C_n^{r-1}+...+C_m^r*C_n^0$$

　　很简单，考虑一下选出的$r$个物品在前$m$个里有多少个，在后$n$个数里有多少个就好了

　　特别的$$C_{m+n}^n=C_m^0*C_n^0+C_m^1*C_n^1+...+C_m^n*C_n^n$$

　　根据性质1以及性质7第一条

　　$C_{m+n}^n=C_m^0*C_n^n+C_m^1*C_n^{n-1}+...+C_m^n*C_n^0$

　　$=C_{m+n}^n=C_m^0*C_n^0+C_m^1*C_n^1+...+C_m^n*C_n^n$

性质8

　　$$n*C_m^n=m*C_{m-1}^{n-1}$$

　　运用通项公式

　　$n*C_m^n$

　　$=n*\frac{m!}{n!*(m-n)!}$

　　$=\frac{m!}{(n-1)!*(m-n)!}$

　　$=m*\frac{(m-1)!}{(n-1)!*(m-n)!}$

　　$m*C_{m-1}^{n-1}$

性质9

　　$$\sum_{i=1}^m C_m^i*i=m*2^{m-1}$$

　　用通项公式

　　$\sum_{i=1}^m C_m^i*i$

　　$=\sum_{i=1}^m \frac{m!}{(i-1)!*(m-i)!}$

　　$=(\sum_{i=1}^m \frac{(m-1)!}{(i-1)!*(m-i)!})*m$

　　$=(\sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i)*m$

　　然后看性质4

　　$=m*2^{m-1}$

　　ps：实际上上面也能写成$i=0$，因为$C_m^0*0=0$，对答案无影响

性质10

　　$$\sum_{i=1}^m C_m^i*i^2=m*(m+1)*2^{m-2}$$

　　用和上面差不多的方法得到

　　$\sum_{i=1}^m C_m^i*i^2$

　　$=(\sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i*(i+1))*m$

　　$=(\sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i*i+\sum_{i=0}^{m-1} C_{m-1}^i)*m$

　　然后用性质9和性质4

　　$=(2^{m-2}*(m-1)+2^{m-1})*m$

　　然后又因为$2^{m-1}=2*2^{m-2}$

　　所以原式等于$=m*(m+1)*2^{m-2}$

性质11

　　$$\sum_{i=0}^m (C_m^i)^2=C_{2m}^m$$

　　枣树……考虑有两个$m$个数的集合，所有数都互不相同，从其中取$m$个数的方法是多少？是从$2m$个数里取$m$个数的方案数$C_{2m}^m$，也是从第一个数列取$i$个数，第二个数列里取$n-i$个数，然后根据乘法原理乘起来，又因为$C_m^i=C_m^{m-i}$，所以得到上述等式

卢卡斯定理

　　

　　当$p$为素数时

　　$$C_n^m\equiv C_{n/p}^{m/p}*C_{n\%p}^{m\%p}(mod\ p)$$

　　证明太长了，都够我单独水一篇博客的了->请移步这里

总结

　　累死我了……看原文居然发现一些错……然而我并没有CSDN的账号甚至不能去评论orz……

　　据说组合数的性质可以用以下几种方法去推

　　1.情景假设法

　　2.隔板法

　　3.通项公式法

　　4.递归公式法

　　然而我都不会