P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏（二分图，网络流）

传送门

 

这推导过程真的有点可怕的说……完全想不出来……

最终状态是$(1,1),(2,2),(3,3)...(n,n)$都有一个黑点

我们可以理解为每一个行和列都形成了一个匹配

换句话说，只要$n$行和$n$列都能形成匹配那说明就有解否则无解

所以$s$向每行代表的点连边，每列代表的点向$t$连边

如果某行某列有$1$，那么这行向这列连边

考虑一下交换行，就是交换$s$向两行的连边，交换列同理

所以只要在最初的二分图上跑匹配，匹配数等于$n$就有解

ps：不是很明白的话可以想一下魔方，你可以让一个位置交换到任意的另一个位置

//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
    #define num ch-'0'
    char ch;bool flag=0;int res;
    while(!isdigit(ch=getc()))
    (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*10+num);
    (flag)&&(res=-res);
    #undef num
    return res;
}
const int N=505,M=100005;
int ver[M],Next[M],head[N],edge[M],tot=1;
int cur[N],dep[N],n,s,t;
queue<int> q;
inline void add(int u,int v,int e){
    ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot,edge[tot]=e;
    ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot,edge[tot]=0;
}
bool bfs(){
    memset(dep,-1,sizeof(dep));
    for(int i=s;i<=t;++i) cur[i]=head[i];
    while(!q.empty()) q.pop();
    q.push(s),dep[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=Next[i]){
            int v=ver[i];
            if(dep[v]<0&&edge[i]){
                dep[v]=dep[u]+1,q.push(v);
                if(v==t) return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int dfs(int u,int limit){
    if(!limit||u==t) return limit;
    int flow=0,f;
    for(int i=cur[u];i;i=Next[i]){
        int v=ver[i];cur[u]=i;
        if(dep[v]==dep[u]+1&&(f=dfs(v,min(limit,edge[i])))){
            flow+=f,limit-=f;
            edge[i]-=f,edge[i^1]+=f;
            if(!limit) break;
        }
    }
    return flow;
}
int dinic(){
    int flow=0;
    while(bfs()) flow+=dfs(s,inf);
    return flow;
}
int main(){
    int T=read();
    while(T--){
        int n=read();
        s=0,t=2*n+1,tot=1;
        memset(head,0,sizeof(head));
        for(int i=1;i<=n;++i) add(s,i,1),add(i+n,t,1);
        for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j){
            int u=read();
            if(u) add(i,j+n,1);
        }
        puts(dinic()==n?"Yes":"No");
    }
    return 0;
}