【2025.10.10NOIP】概率 (pr)题解

题目描述

你有一个随机数生成器，每次会均匀随机地生成一个 [0,m] 之间的整数。你用这个随机生成器生成了 2n 个整数，你想知道你生成的前 n 个整数的和比后 n 个整数的和大的概率是多少。你只需求出这个概率对质数 P 取模后的结果即可。

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对质数 P 取模的定义：对于一个有理数，将其写成既约分数 a/b，如果 b 不是 P 的倍数，可以证明存在唯一的整数 0≤x<P 满足 xb≡a(modP)，定义这个 x 就是 a/b 对 P 取模的结果。

可以证明本题的答案概率一定是一个有理数，且约分后分母一定不是题目数据范围中 P 的倍数。

输入

从文件 pr.in 中读入数据。

在文件 pr.in 中读入。

每个测试点有多组询问，但用的都是同一个模数。

第一行一个整数 P 表示这个测试点所用模数。

第二行一个整数 T 表示询问组数。

接下来 T 行每行两个整数分别表示每组询问的 n 和 m。

输出

输出到文件 pr.out 中。

在文件 pr.out 中输出。

共 T 行，每行一个整数表示答案。

样例数据

输入 #1 复制

998244353
5
1 2
3 4
25 25
114 514
1919 810

输出 #1 复制

332748118
675356228
865314458
846704265
499065697

数据范围限制

本题共有 10 个测试点，每个测试点 10 分。

对于所有测试点，保证 1≤T,n,m≤2000,108≤P≤109，且 P 是质数。

• 对于测试点 1，有 1≤T,n,m≤5。

• 对于测试点 2,3，有 1≤T,n,m≤15。

• 对于测试点 4,5，有 1≤T,n,m≤50。

• 对于测试点 6,7，有 1≤T,n,m≤200。

• 对于测试点 8,9，有 1≤T,n,m≤1000。

• 对于测试点 10，无特殊限制。

提示

样例 1 解释

对于第一组询问，满足条件当且仅当生成的 2n 个整数为 [2,0],[2,1],[1,0] 三种情况
之一，概率为 3/(m+1)2n=1/3，对 998244353 取模后的结果为 332748118。

思路

数学。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long p,t,n,m,f[55][5505],opd=0,jx[5000006],jx2[5000006],op=0,kl=0,lk=0,bz,oj;
long long pow2(long long a1,long long b1){
    long long kk1=1;
    a1%=p;
    while(b1){
        if(b1%2==1){
            kk1=kk1*a1%p;
        }
        b1/=2;
        a1=a1*a1%p;
    }
    return kk1;
}
long long C(long long a1){
	return jx[2*n]*jx2[a1]%p*jx2[2*n-a1]%p;
}
long long C2(long long a1,long long b1){
	if(a1>=b1){
		return jx[a1]*jx2[b1]%p*jx2[a1-b1]%p;
	}
	else{
		return 0;
	}
}
int main(){
	freopen("pr.in","r",stdin);
	freopen("pr.out","w",stdout);
	cin>>p;
	cin>>t;
	jx[0]=1;
	jx2[0]=pow2(jx[0],p-2);
	for(int i=1;i<=5000000;i++){
		jx[i]=(jx[i-1]*i)%p;
		jx2[i]=pow2(jx[i],p-2);
	}
	while(t--){
		cin>>n>>m;
		op=-1;
		lk=kl=bz=oj=0;
		for(int i=0;i<=2*n;i++){
			op*=-1;
			kl=op*C(i)%p;
			kl=kl*C2(n*m-(m+1)*i+2*n-1,2*n-1)%p;
			lk=(lk+kl)%p;
		}
		//cout<<lk<<endl;
		lk=(lk+p)%p;
		bz=(pow2(m+1,2*n)-lk+p)%p;
		oj=pow2(pow2(m+1,p-2),2*n)*pow2(2,p-2)%p;
		//cout<<oj<<endl;
		cout<<(bz*oj)%p<<endl;
	}
    return 0;
}