[ICPC 2022 Nanjing R] 停停，昨日请不要再重现题解

题目描述

继 2018，2019，2020 和 2021 年成功承办赛事之后，南京航空航天大学（NUAA）将连续第五年承办国际大学生程序设计竞赛（ICPC）。

在 2018 与 2019 年，“中二之力”队与“三个顶俩”队为清华大学赢得了冠军。在 2020 与 2021 年，北京大学的“逆十字”队连续赢得冠军。该队也在达卡举办的第 45 届国际大学生程序设计竞赛全球总决赛中获得了亚军，创造了东大陆区域过去六年来的最佳成绩。让我们恭喜他们，同时也非常期待他们在 2022 年南京站的表现！

今年，将会有约 500 支队伍参与南京站的竞赛。本次竞赛将会颁发至多 35 项金奖，70 项银奖与 105 项铜奖。让我们期待选手们出色的表现！

虽然由于疫情，我们（又一次）无法在南京相聚，我们仍然需要感谢竞赛组委会与志愿者们的努力付出。感谢你们为本次竞赛做出的贡献！

在 2018 年的竞赛中，K 题《袋鼠谜题》要求选手为以下游戏构造一个操作序列：

谜题由一个 n 行 m 列的网格（1≤n,m≤20）组成，且有一些（至少 2 只）袋鼠位于网格中。玩家的目标是控制袋鼠并把它们聚集在同一个格子中。一些格子里有墙，袋鼠无法进入这些有墙的格子，而其它格子是空的。袋鼠可以从一个空格子移动到上，下，左，右相邻的另一个空格子中。
游戏开始时，每个空格子里都有一只袋鼠。玩家可以通过键盘上 U，D，L，R 四个按键控制袋鼠的移动。所有袋鼠会同时根据您按下的按键移动。
选手需要构造一个长度至多为 5×104 且由 U，D，L，R 组成的操作序列以达成目标。

在 2020 年的竞赛中，A 题《啊，昨日重现》要求选手构造一张输入地图，以证明以下代码并不是上述问题的解：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s = "UDLR";
int main()
{
  srand(time(NULL));
  for (int i = 1; i <= 50000; i++) putchar(s[rand() % 4]);
  return 0;
}

在 2021 年的竞赛中，A 题《呀，昨日再次重现》同样要求选手为以下游戏构造操作序列：

本题中，网格中的每个格子都有恰好一只袋鼠。您需要构造一个仅由字符 U，D，L 和 R 组成的操作序列。在应用该操作序列后，所有袋鼠必须聚集在指定格子 (a,b) 中。操作序列的长度不能超过 3(n−1)。同往常一样，所有袋鼠会根据您的命令同时移动。

在 2022 年的竞赛中，袋鼠题又回来啦！我们不知道为什么命题组的成员们那么喜欢袋鼠，但题目如下：

给定一张 n 行 m 列的网格，在位于第 ih​ 行第 jh​ 列的格子上有一个洞，其它每个格子都是空地并且都有一只袋鼠。

相似地，袋鼠可以被键盘上的 U，D，L，R 键控制。所有袋鼠会同时根据按下的按键移动。具体来说，对于一只位于第 i 行第 j 列的格子（用 (i,j) 表示）上的袋鼠：

• 按键 U：它会移动到 (i−1,j)。
• 按键 D：它会移动到 (i+1,j)。
• 按键 L：它会移动到 (i,j−1)。
• 按键 R：它会移动到 (i,j+1)。

如果一只袋鼠踩到了洞（也就是说，i=ih​ 且 j=jh​）或者移动到了网格外面，它将被从网格上移除。

问题在于，ih​ 与 jh​ 的值是未知的。您只知道一个仅由字符 U，D，L，R 组成的操作序列，以及一个整数 k 表示应用这个操作序列之后，网格上恰有 k 只袋鼠存留。

请计算有多少位置可能存在洞。也就是说，计算满足以下条件的整数对 (ih​,jh​) 的数量：

• 1≤ih​≤n，1≤jh​≤m。
• 洞位于 (ih​,jh​)。
• 应用给定的操作序列后，网格上恰有 k 只袋鼠存留。

输入格式

有多组测试数据。第一行输入一个整数 T 表示测试数据组数，对于每组测试数据：

第一行输入三个整数 n，m 与 k（1≤n,m≤103，0≤k<n×m）表示网格的大小以及应用操作序列后网格上存留的袋鼠数量。

第二行输入一个字符串 s1​s2​⋯sl​（si​∈{‘U’,‘D’,‘L’,‘R’}，1≤l≤106）表示操作序列。

保证所有数据 n×m 之和以及操作序列长度之和均不超过 106。

输出格式

每组数据输出一行一个整数表示有多少位置可能存在洞。

输入输出样例

输入 #1复制

3
4 5 3
ULDDRR
4 5 0
UUUUUUU
4 5 10
UUUUUUU

输出 #1复制

2
20
0

说明/提示

对于第一组样例数据，有 2 个位置可能存在洞。

第一个可能的位置是 (3,4)。

第二个可能的位置是 (4,3)。

思路

二位前缀和。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long t,n,m,k,l1,l2,r1,r2,u1,u2,d1,d2,df,f[5006][5006],lk=0,ty,tx;
string s;
int main(){
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>m>>k;
        l1=1;
        l2=n;
        r1=1;
        r2=m;
        u1=1;
        u2=n;
        d1=1;
        d2=m;
        cin>>s;
        df=s.size();
        for(int i=0;i<df;i++){
            if(s[i]=='U'){
            	l1--;
            	l2--;
            }
            if(s[i]=='D'){
            	l1++;
            	l2++;
            }
            if(s[i]=='L'){
            	r1--;
            	r2--;
            }
            if(s[i]=='R'){
            	r1++;
            	r2++;
            }
            u1=max(u1,l1);
            u2=min(u2,l2);
            d1=max(d1,r1);
            d2=min(d2,r2);
        }
        //cout<<u1<<" "<<u2<<" "<<d1<<" "<<d2<<endl;
        if(u1>=u2+1||d1>=d2+1){
            if(k==0){
                cout<<n*m<<endl;
            }
            else{
                cout<<0<<endl;
            }
        }
        else if((u2-u1+1)*(d2-d1+1)<=k-1){
        	cout<<0<<endl;
		}
		else{
            for(int i=0;i<=2*n+5;i++){
                for(int j=0;j<=2*m+5;j++){
                    f[i][j]=0;
                }
            }
            long long ss=n+1,t=m+1;
            f[ss][t]=1;
			for(int i=0;i<df;i++){
                if(s[i]=='U'){
                	ss--;
                }
                if(s[i]=='D'){
                	ss++;
                }
                if(s[i]=='L'){
                	t--;
                }
                if(s[i]=='R'){
                	t++;
                }  
                f[ss][t]=1;
            }
            for(int i=1;i<=2*n+5;i++){
                for(int j=1;j<=2*m+5;j++){
                    f[i][j]+=(f[i-1][j]+f[i][j-1]-f[i-1][j-1]);
                    //cout<<i<<" "<<j<<" "<<f[i][j]<<endl;
                }
            }
            lk=0;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                for(int j=1;j<=m;j++){
                    tx=n-i+1;
                    ty=m-j+1;
                    //cout<<f[tx+u2][ty+d2]-f[tx+u1-1][ty+d2]-f[tx+u2][ty+d1-1]+f[tx+u1-1][ty+d1-1]<<endl;
                    if(f[tx+u2][ty+d2]-f[tx+u1-1][ty+d2]-f[tx+u2][ty+d1-1]+f[tx+u1-1][ty+d1-1]==(u2-u1+1)*(d2-d1+1)-k){
                        lk++;
                    }
                }
            }
            cout<<lk<<endl;
		} 
    }
	return 0;
}