[国家集训队] 单选错位题解

题目描述

gx 和 lc 去参加 noip 初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。

试卷上共有 n 道单选题，第 i 道单选题有 ai​ 个选项，这 ai​ 个选项编号是 1,2,3,…,ai​，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。

lc 采取的策略是每道题目随机写上 1∼ai​ 的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对 ∑i=1n​ai​1​ 道题目。gx 则是认认真真地做完了这 n 道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第 i 道题目的答案抄到了答题纸上的第 i+1 道题目的位置上，特别地，第 n 道题目的答案抄到了第 1 道题目的位置上。

现在 gx 已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被 lc 鄙视了。

我们假设 gx 没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。

输入格式

n 很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有 5 个整数参数 n,A,B,C,a1​，由上交的程序产生数列 a。下面给出 pascal/C/C++ 的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：

// for pascal
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i] := q[i] mod C + 1;


// for C/C++
scanf("%d%d%d%d%d", &n, &A, &B, &C, a + 1);
for (int i = 2; i <= n; i++)
	a[i] = ((long long) a[i - 1] * A + B) % 100000001;
for (int i = 1; i <= n; i++)
	a[i] = a[i] % C + 1;

选手可以通过以上的程序语句得到 n 和数列 a（a 的元素类型是 32 位整数），n 和 a 的含义见题目描述。

输出格式

输出一个实数，表示 gx 期望做对的题目个数，保留三位小数。

输入输出样例

输入 #1复制

3 2 0 4 1

输出 #1复制

1.167

说明/提示

【样例说明】

正确答案	gx的答案	做对题目	出现概率
{1,1,1}	{1,1,1}	3	61​
{1,2,1}	{1,1,2}	1	61​
{1,3,1}	{1,1,3}	1	61​
{2,1,1}	{1,2,1}	1	61​
{2,2,1}	{1,2,2}	1	61​
{2,3,1}	{1,2,3}	0	61​

a={2,3,1}。

共有 6 种情况，每种情况出现的概率是 61​，gx 期望做对 63+1+1+1+1+0​=67​ 题。（相比之下，lc 随机就能期望做对 611​ 题）

对于 30% 的数据，n≤10,C≤10。

对于 80% 的数据，n≤104,C≤10。

对于 90% 的数据，n≤5×105,C≤108。

对于 100% 的数据，2≤n≤107,0≤A,B,C≤108，1≤ai​≤108。

思路

DP。

代码见下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,aq,b,c,a[10000007],mod=100000001;
double lk=0.000;
int main(){
	cin>>n>>aq>>b>>c>>a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        a[i]=(a[i-1]*aq+b)%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=a[i]%c+1;
    }
    a[n+1]=a[1];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]==a[i+1]){
            lk+=1.000/(double)a[i];
        }
        else if(a[i]>a[i+1]){
            lk+=1.000/(double)a[i];
        }
        else{
            lk+=1.000/(double)a[i+1];
        }
    }
    printf("%.3lf\n",lk);
    return 0;
}